Differential Equations Marathon
ขอโจทย์มาเรื่อยๆเลยนะครับ กำลังเรียนเรื่องนี้อยู่ (เพิ่งเริ่ม)
[1] จงพิสูจน์ว่า $y = g(x) = x^{2}$ เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่ 1 $xy' = 2y$ ที่ทุกค่าของ $x$ :yum: |
ข้อแรกง่ายไปนิดหรือเปล่าครับ หุ ๆ ดิฟแล้วแทน :cool:
2. Solve $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x) + 2}{\sin(y) + 2}$ |
หืมมม มีผู้เปิดประเด็น นี้ซะแล้ว ต้องร่วมแจมครับ อิอิ ของพี่ gon แยกตัวแปรแล้วอินทิเกรตก็จะเรียบร้อย
3. Solve \[ \frac{dy}{dx}=(x+y)^2 \] Hint : Change variable ปล. เพิ่ม Hint ให้นะครับผม |
Oh! ..O.. Marathon ! :aah:
Edit: OK ปล. มันเป็นจริงซะแล้ว |
ขออนุญาตเปลี่ยนชื่อกระทู้นิดหน่อยนะครับ เพราะตกลงกับน้อง Magpie ไว้แล้วว่าจะเล่นกันยาว :laugh:
|
ลืมเทคนิคการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ไปเกือบหมดแล้วครับ ก็เลยถือโอกาสใช้กระทู้นี้รื้อฟื้นความจำไปด้วยเลย ข้อ 3 ของน้อง Magpie ทำผมอึ้งอยู่พักนึง แต่คิดว่าได้คำตอบแล้วครับ
|
2. Solve $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x) + 2}{\sin(y) + 2}$
{sin(y)+2} dy = {cos(x)+2} dx ๒{sin(y)+2} dy = ๒{cos(x)+2} dx cos(y) + 2y + c = -sin(x) + 2x + c cos(y) + sin(x) + 2y - 2x = C ข้อ 3 ไปไม่เป็นจริงๆ :blood: ขอบคุณครับ |
ข้อ 3. ให้ $z=x+y$ เขียน $\frac{dy}{dx}$ ในเทอมของ $\frac{dz}{dx}$ แล้วแก้ differential equation อันใหม่ที่ได้ เมื่อได้คำตอบแล้วจึงแทนค่า $z$ กลับไป ประมาณนี้ล่ะครับ
|
ข้อ 3 \(\frac{dy}{dx}=(x+y)^{2}\)
ให้ \( z=x+y\) $\frac{dx}{dx}+\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx} $ เอา $ dx $ คูณตลอด $dx+dy=dz $ $dy=dz-dx $ แทนค่าในโจทย์ \(\frac{dy}{dx}=(x+y)^{2}\) $\frac{dz-dx}{dx}=z^{2}$ $dz-dx=z^{2}dx $ $dz=(1+z^{2})dx$ $\frac{dz}{1+z^{2}}=dx$ ๒$\frac{dz}{1+z^{2}}$=๒$dx$ $tan^{-1} z=x+c$ แทนค่าด้วย $z=x+y$ $tan^{-1}x+y=x+c$ :wacko: |
ขอ comment นิดนึงนะครับ
สัญลักษณ์ $\frac{dy}{dx}$ ไม่ได้หมายความว่า $dy$ หาร $dx$ นะครับ เพราะฉะนั้นการเขียนว่า $\frac{dz-dx}{dx}$ จึงไม่น่าจะมีความหมายครับ ควรเขียนเป็น $\frac{dz}{dx}-1$ มากกว่า :rolleyes: ส่วนคำตอบเขียนในรูป $y = \tan{(x+c)}-x$ น่าจะสวยกว่าครับ :D |
รับทราบ :please:
จริงมหาลัยผมเปิดมา 3 อาทิตย์ คาบแรกปฐมนิเทศ คาบ 2 เรียน คาบ 3 หยุดงานลาดกระบังนิทรรศ :tired: เน็ตไม่ค่อยดี แต่ช่วงไหนเข้าได้ก็จะเข้ามาเรื่อยๆครับ 4. $$y''+2y'+y=0$$ |
ข้อ 4. สมมติให้ $y=e^{mx}$ แทนค่าจะได้สมการ \[m^2+2m+1=0 \Rightarrow m=-1,-1 \]หาคำตอบได้เป็น
\[ y = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x}\] edit แล้วครับ คิดผิดไปหน่อยครับ แหะๆ 5. Solve \[ y^{(8)}(x)-y(x) = 0 \] ปล. 1. แก้โจทย์ให้แล้วครับ คิดว่ายังไม่รู้จัก basis ขออภัยด้วยครับ 2. $y^{(n)}(x)$ หมายถึง อนุพันธ์อันดับ n ของ y ครับ สัญลักษณ์มาตรฐาน |
เห็นโจทย์แล้ว อึ้ง ทึ่ง เสียว มากเลยครับ
ข้อ 5. ผมยังไม่เข้าใจสัญลักษณ์ครับ เรียน ode อยู่ครับ :cry: |
5. โจทย์มันโหดร้ายเกินปายยยย
ได้ characteristic polynomial เป็น $m^8 - 1$ ครับ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $m^8-1 = (m-1)(m+1)(m-i)(m+i)(m-\frac{1+i}{\sqrt{2}})(m+\frac{1+i}{\sqrt{2}})(m-\frac{1-i}{\sqrt{2}})(m+\frac{1-i}{\sqrt{2}})$ จากนั้นคำตอบทั่วไปก็เป็น linear combination ของ $\{e^{\alpha x}\}$ เมื่อ $\alpha$ เป็นรากของ $m^8-1$ ครับ :rolleyes: |
6. $xdy - ydx = (x^2+y^2)dx$
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:53 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha