1. กำหนดให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ามา 1 รูป กว้าง $m$ หน่วย ยาว $n$ หน่วย จงบอกวิธีสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับ $\dfrac{m^2+n^2}{2}$ ตารางหน่วยพร้อมพิสูจน์ให้เห็นจริง

2. ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ให้ $h_a, h_b, h_c$ เป็นความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลากจากจุด $A, B, C$ และ $r_a, r_b, r_c$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของรูปสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}$$

3. ให้จุด $O$ เป็นจุดภายในรูปสามเหลี่ยม $ABC$

3.1 ลาก $OA, OB, OC$ ตัดด้าน $BC, AC, AB$ ที่จุด $A_1,B_1, C_1$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{OA_1}{AA_1}+\frac{OB_1}{BB_1}+\frac{OC_1}{CC_1}=1$$

3.2 ให้ $O_1, O_2, O_3$ เป็นภาพสะท้อนของจุด $O$ โดยมีแกนเป็น $BC, AC, AB$ ลาก $O_1A, O_2B, O_3C$ ตัดด้าน $BC, AC, AB$ ที่จุด $A_2,B_2, C_2$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{AO_1}{AA_2}+\frac{BO_2}{BB_2}+\frac{CO_3}{CC_2}=4$$

4. ให้ $I$ เป็น incenter ของสามเหลี่ยม $ABC$ และ incircle ของสามเหลี่ยม $ABC$ สัมผัสด้าน $BC, AC, AB$ ที่จุด $D, E, F$ ถ้า $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC$ จงพิสูจน์ว่า $EF, DI, AM$ ตัดกันที่จุดเดียว ]

จงใช้อสมการ AM-GM-HM, อสมการ weighted-AM-GM, อสมการ Cauchy Schwarz, อสมการ Modified Cauchy Schwarz, หรือความรู้พื้นฐานเพื่อพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้

1. ($a, b, c>0$)
$$\sum_{cyc}(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}\geq 4(ab+bc+ca)$$

2. ($x, y, z>0$, $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq x^2y^2z^2$) หาค่าต่ำสุดของ
$$\sum_{cyc}\frac{x^2y^2}{z^3(x^2+y^2)}$$
3. ($a, b, c>0$)
$$\sum_{cyc}\frac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}\leq 1$$

4. ($a, b, c>1$)
$$\sum_{cyc}\frac{a^3}{b+c}>\frac{3}{2}$$

5. ให้ $H_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$ สำหรับทุก $n\in\mathbb{N}$ จงใช้ induction เพื่อพิสูจน์ว่า $H_{2^n}\geq 1+\dfrac{n}{2}$ สำหรับทุก $n\in\mathbb{N}$

1. จงหาผลรวมของ $\overline{abcd}$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ซึ่งทำให้ $\overline{2a7b}-\overline{18cd}=341$ และ $8\mid\overline{7d2}$ (8 คะแนน)

2.1 จงพิสูจน์ว่าถ้า $3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$ แล้ว $a=b=c=d$ (4 คะแนน)

2.2 จงหาค่าของ $a,b,c,d$ ที่ทำให้ $a+b+c+d=40$ และ $ab+ac+ad+bc+bd+cd=600$ (4 คะแนน)

3. ให้ $a>0$ และ $f(x)=\dfrac{a^{2x}}{a^{2x}+a}$ เมื่อ $x\in\mathbb{Q}^+$ จงหาค่าของ
$$\sum_{i=0}^{n-m}f\left(\frac{m+i}{n}\right)+\sum_{i=1}^{n-m}f\left(\frac{i}{n}\right)$$ (12 คะแนน)

4. ให้ $P(x)$ เป็นพหุนาม Quadratic และเป็น Monic ที่ทำให้มี $\alpha\in\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $P(\alpha)=P(P(P(\alpha)))=0$ จงพิสูจน์ว่า $P(0)P(1)=0$ (10 คะแนน)

5. ให้ $a,b,c\in\mathbb{R}$ จงพิสูจน์ว่าหนึ่งในสามสมการต่อไปนี้ต้องมีรากจริง

$x^2+(a-b)x+(b-c)=0$, $x^2+(b-c)x+(c-a)=0$, $x^2+(c-a)x+(a-b)=0$

(12 คะแนน)

1. ให้ $m,n\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $(2m+1,2n+1)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(2^{2m+1}+2^{m+1}+1,2^{2n+1}+2^{n+1}+1)=1\ หรือ\ 5$

2. ให้ $n$ เป็นจำนวนประกอบ จงแสดงว่าไม่มี $k\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $(n-1)!+1=n^k$

3. จงหา $(m,n)\in\mathbb{N}^2$ ที่ทำให้ $2^m+3^n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

4. จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ทำให้ $4p^2+1,\ 6p^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะพร้อมกัน

5. จงแสดงว่ามี $n\in\mathbb{N}$ เป็นอนันต์ที่ทำให้ $n\mid 2^n+1$

1. จงเติมคำตอบ

1.1 จงหาสัมประสิทธิ์หน้า $x^4$ ของ $(x^2+2x-1)^7$

1.2 มีจำนวนนับที่น้อยกว่า $1000$ กี่จำนวนที่แต่ละหลักไม่ซ้ำกันเลย

2. จงพิสูจน์ว่า

2.1 $\displaystyle{\left[\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{m-i}{k-i}\right]\binom{m-k}{r-k}=2^k\binom{r}{k}\binom{m}{r}}$ ทุกจำนวนนับ $m\geq r\geq k$

2.2 $\dfrac{(9n)!}{2^{3n}3^{2n}}\in\mathbb{N}$ ทุกๆ $n\in\mathbb{N}$

3. ญาญ่าแจกลูกบอล 10 ลูกต่างกันให้เด็ก 3 คน โดยที่ถ้าเด็กคนที่ 1 ได้ลูกบอลเป็นจำนวนคู่ลูก ญาญ่าจะได้ 1 แต้ม แต่ถ้าเด็กคนที่ 1 ได้ลูกบอลเป็นจำนวนคี่ลูก ญาญ่าจะเสีย 1 แต้ม จงหาผลรวมของแต้มที่ญาญ่าจะได้เมื่อคำนวณจากทุกวิธีที่เป็นไปได้

4. ให้ $n\in\mathbb{N}$ จงหาเซตซ้ำย่อยที่มีสมาชิก $2n$ ตัวของ $\{1\cdot a_1,\ n\cdot a_2,\ n\cdot a_3,\ \infty\cdot a_4\}$

5. มีข่าวลือแพร่ในกลุ่มคนที่มี 10 คน ซึ่งจับกันเป็นคู่ๆ 5 คู่ สองคนที่จับคู่กันจะเรียกว่าเป็น "คู่หู" กัน ข่าวลือจะถูกแพร่โดยส่งต่อทางโทรศัพท์ไปเรื่อยๆ โดยมีเงื่อนไขว่า เมื่อเริ่มต้น มีผู้รู้ข่าวลือเพียงคนเดียว และผู้รับข่าวลือจะโทรหาใครก็ได้ ที่ไม่ใช่คนที่โทรบอกตนเอง หรือ คู่หูของคนที่โทรบอกตนเอง หรือ คู่หูของตนเอง

5.1 ถ้ามีการโทรทั้งหมด $n$ ครั้ง จะมีเส้นการแพร่ข่าวลือในกลุ่มกี่วิธี

5.2 ให้ณเดชณ์กับปกรณ์ไม่ใช่คู่หูกัน ถ้าณเดชณ์ไม่ได้เป็นผู้เริ่มข่าวลือจงหาความน่าจะเป็นที่การโทรครั้งที่ 3 จะโทรหาปกรณ์

Brutal Force (น่าจะมีวิธีดีกว่านี้นะครับ = =")

$(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2=0$

f(x)+f(1-x)=1

http://www.artofproblemsolving.com/community/c5171_2011_allrussian_olympiad

http://www.artofproblemsolving.com/community/c5167_2007_allrussian_olympiad

$$\sum_{cyc} \sqrt{(a^2+ab+bc+ca)(b^2+ab+bc+ca)} \geq \sum_{cyc} (ab+ab+bc+ca)$$

$$2\sum_{cyc} \frac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}\leq 2\sum_{cyc} \frac{a^3b}{2a^3b+b^4} =3- \sum_{cyc} \frac{b^3}{2a^3+b^3} \leq 3-1=2$$

$$\sum_{cyc} \frac{a^3}{b+c}>\sum_{cyc} \frac{a}{b+c}\geq\frac{3}{2}$$

$$\underbrace{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}}_{2^n ตัว} =\frac{1}{2}$$

Attachment 17992

แทน $rr_a=(s-b)(s-c)$ ลงไป จัดรูปดีๆ

ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปมีส่วนสูงร่วมกัน แล้วอัตราส่วนของพื้นที่ = อัตราส่วนของฐาน

ดังนั้น $\dfrac{OA_1}{AA_1}=\dfrac{[OBC]}{[ABC]}$

ทำคล้ายๆ กับ 3.1 ได้ว่า

$\dfrac{AO_1}{AA_2}=1+\dfrac{[O_1BC]}{[ABC]}=1+\dfrac{[OBC]}{[ABC]}$

$P(\alpha)=P(P(0))=0$

ในสามตัวนี้ $a-b,b-c,c-a$ ต้องมีตัวนึงน้อยกว่าหรือเท่ากับ $0$ อยู่แล้ว

ให้ $[ABC]$ เป็นพื้นที่สามเหลี่ยม จะได้ $\dfrac{[ABC]}{r_a}=\dfrac{b+c-a}{2}$และ $\dfrac{[ABC]}{h_a}=\dfrac{a}{2}$

ทำแบบนี้ทั้งสามสมการแล้วนำมาบวกกัน

สมมติ $G$ เป็นจุดตัดของ $DI, EF$ จะได้ $\angle GID = \angle B, \angle GIE = \angle C$ จากนั้นก็ไล่กฎของ sine

แยก 2 กรณีคือ $n=4$ และ $n>4$ กรณี $n>4$ ให้พิสูจน์ว่า $n\mid(n-1)!$ โดยการแสดงว่าเราสามารถหยิบสองตัวจากผลคูณที่ผลคูณของสองตัวนั้นหารด้วย $n$ ลงตัว

$n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4$ ได้ $n=5$ แค่ตัวเดียว

ถ้า $n$ สอดคล้องกับโจทย์ แสดงให้ได้ว่า $2^n+1$ ก็สอดคล้อง

มีขนมต่างกัน $m$ ชิ้น เลือกมา $k$ ชิ้นไปขายให้พ่อค้า 2 คน และเลือกอีก $r-k$ ชิ้นไว้กินเอง นอกนั้นเก็บใส่กล่อง

จำนวนแต้มเท่ากับ $\displaystyle{\sum_{r=0}^{10}(-1)^r\binom{10}{r}2^{10-r}}$ สังเกตไหมว่ามันคือทวินาม

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut (ข้อความที่ 179878) NT2 แยก 2 กรณีคือ $n=4$ และ $n>4$ กรณี $n>4$ ให้พิสูจน์ว่า $n\mid(n-1)!$ โดยการแสดงว่าเราสามารถหยิบสองตัวจากผลคูณที่ผลคูณของสองตัวนั้นหารด้วย $n$ ลงตัว NT5 ถ้า $n$ สอดคล้องกับโจทย์ แสดงให้ได้ว่า $2^n+1$ ก็สอดคล้อง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kodaku (ข้อความที่ 179879) CB2.2 $(2,3)= 1$ , คิดแยกว่าก้อน $\frac{(9n)!}{2^{3n}} $ กับก้อน $\frac{(9n)!}{3^{2n}} $ หารลงตัว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 (ข้อความที่ 179893) Combinatorics 5 ส่งข่าวลือไปให้คนที่เคยได้รับข่าวลือแล้วได้ไหมครับ ถ้าส่งได้ก็จะง่ายมาก แต่ถ้าส่งไม่ได้ก็จะยาก

คะแนนของญาญ่าจะเท่ากับ $a_{i_1}a_{i_2} \cdots a_{i_{10}}$
เมื่อ $i_j$ เป็นหมายเลขของคนที่ได้รับลูกบอลที่ $j$
และ $a_1 = -1, a_2=1, a_3=1$

$\displaystyle \sum_{1 \le i_1,i_2,...,i_{10} \le 3} a_{i_1}a_{i_2} \cdots a_{i_{10}} = (-1+1+1)^{10}=1$

ans. $2(n+1)^2-1$ ลองวิเคราะห์ดูนะครับว่าคำตอบนี้ได้มาจากไหน

$$(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}\geq (a+b)(c+\sqrt{ab})=ac+bc+(a+b)\sqrt{ab}\geq ac+bc+2ab$$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kodaku (ข้อความที่ 179879) NT3 สังเกตุว่าถ้า $m \geqslant 2$ แล้วจะได้nเป็นจำนวนคู่ ย้ายข้างไปเป็นผลต่างกำลังสองแล้วดูหรมของทั้งสองก้อนครับ CB2.2 $(2,3)= 1$ , คิดแยกว่าก้อน $\frac{(9n)!}{2^{3n}} $ กับก้อน $\frac{(9n)!}{3^{2n}} $ หารลงตัว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut (ข้อความที่ 179898) คุณ Thgx0312555 Combi ข้อ 4 ไม่ใช่ $2(n+1)^2-1$ หรอครับ ส่วน Combi ข้อ 5 ของคุณ กขฅคฅฆง ตรงกับผมทั้ง 2 ข้อครับ