คำถามเกี่ยวกับ Linear Algebra แบบลึกซึ้ง
 

1.การแก้สมการ 3 ตัวแปร 3 สมการ

ทำไมนำมาบวกลบกันจนตัดตัวแปรไป 2 ตัว แล้วถึงเป็นคำตอบที่ถูกต้องครับ มีวิธีพิสูจน์ยังไงว่าอันนั้นมันถูกต้องเสมอไป

ตามความคิดผมที่คิดด้วยตัวเองคือสมมุติ x+y=1 และ x-y จะแก้สมการคือให้ x,y คือค่าเดียวกัน จับ x=y แล้วนำไปแทนในสมการที่ 1 จะได้ y=1/2 แต่ในกรณี 3 สมการ พิสูจน์ยังไงครับ ว่าแค่เอามาบวก ลบ กัน แล้วมันคือจุดตัดของ 3 ระนาบนั้น ผมสังเกตุจาก การแก้โดยเมริกซ์ให้เป็นขั้นบันได บางทีเอาแถวนั้นไปบวกลบแถวนี้ โดยไม่ทราบว่ามีหลักการอะไร

2.จาก Matrix AX=B อยากทราบว่า คนคิดนี่ เขาคิดได้ยังไงครับ ว่า Matrix ก็สามารถแก้สมการเหมือนจำนวนจริงได้ หรือ เกิดจากการทดลองหลายๆครั้ง แล้วมั่นใจว่า อินเวอสของ A คูณกับ B คือคำตอบ X อย่างแน่นอน

ขอบคุณมากครับ

1. มองในรูปเรขาจุดตัดของ n สมการ ก็หมายถึงจุดที่สอดคล้องทั้ง n สมการ ซึ่งก็หมายถึงการแก้สมการให้ได้จุดที่แทนไปในทั้ง n สมการแล้วเป็นจริง
วิธีกำจัดตัวแปรก็เป็น 1 ในวิธีการหาคำตอบ แต่ไม่ใช่ว่าทำได้เสมอไป
ส่วนการใช้ matrix มาแก้สมการเชิงเส้นนั้น เป็นการทำให้การแก้สมการเป็นไปอย่างมีหลักการเป็นระบบ
เพราะสิ่งสำคัญของสมการเชิงเส้นคือ สัมประสิทธิ์ข้างหน้าตัวแปร, เพราะการแก้สมการแบบที่ทำกันแบบไม่ใช้ matrix ก็ไม่ต่างอะไรจากการคูณตัวเลขเข้ากับสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร บวกลบ สัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร, Matrix เลยดึงแค่สัมประสิทธิ์มาแล้วใส่ในแต่ละช่องแล้วก็เอาแต่ละแถวมากบวกลบกันเลย
ส่วนทำเป็นรูปขั้นบันได มันทำให้แทนค่ากลับได้ไวหลังเป็นรูปขั้นบันไดแล้ว แต่จะทำแบบอื่นก็ได้แล้วแต่สะดวก

2. แก้สมการ Ax=b, A ไม่จำเป็นต้องมี inverse นะครับ แต่ถ้ามีแปลว่าคำตอบมีคำตอบเดียว
เพราะคูณด้วย inverse เข้าข้างซ้ายของสมการทั้งสองข้างก็ได้ค่า $ x=A^{-1}b $ เลย

ขอบคุณที่มาตอบครับ

1.ยกตัวอย่างนะครับ การแก้สมการโดย matrix ทำให้เป็นแบบขั้นบันได ผมสงสัยก็คือ ทำไมเอาแถวนั้นมาบวกแถวนี้ แล้ว ทำเรื่อยๆให้เป็นขั้นบันได เป้าหมายมันคือ ทำให้ตัดตัวแปรออกไปได้ใช่ไหมครับ แล้วกรณีที่ทำไม่ได้ที่พูดถึง
ก็คือกรณีที่ สัมประสิทธิ์ไม่ถึงลงตัวให้มันตัดตัวแปรได้ หรือเปล่าครับ

2.ผมแค่สงสัยว่า $ x=A^{-1}b $ เนี่ย ครั้งแรกเลยที่คุณเห็น คนสร้างรู้ได้ยังไงครับ ว่าคำตอบที่ได้มาจะถูกต้อง มันเกิดจากการย้ายข้างสมการก็จริง ผมเลยสงสัยว่า เขามีแนวคิดยังไงถึงสร้าง Matrix นี่มาได้ หรือ เกิดจากการทดลองทำหลายๆครั้งแล้วพบว่าจริง

1. มันเหมือนกับการแก้สมการปกติทึ่เราทำกันนี่ละครับ เอาสัมประสิทธิ์มาใส่ในแถวของ matrix
แถว1+แถว2 ก็เหมือนเอาสมการ1+สมการ2, คูณค่าคงที่แถวหนึ่งก็เหมือนคูณค่าคงที่เดียวกันในสมการ1, ฯลฯ
และ matrix ทำได้ทุกกรณีครับ แต่ใช้ได้กับแค่สมการเชิงเส้น ถ้าเป็นสมการกำลังสองกำลังสาม nonlinear function ใช้หาค่าพวกนั้นไม่ได้

2. ผมไม่ค่อยเข้าใจคำถามนะครับว่ารู้ได้ยังไงว่าถูก ก็ลองแทนค่ากล้บไปดูในสมการก็ได้ก็รู้แล้วว่าถูกไม่ถูก
ส่วนสร้าง matrix นี้มายังไง หมายถึง matrix ไหนครับ$ A^{-1}b $? ถ้าใช่ ก็สังเกตดูว่าทุกครั้งที่เราทำการคูณค่าคงที่เข้าที่แถวใดแถวหนึ่งหรือสลับแถวหรือเอาแถวมาบวกลบกัน มันเทียบเท่ากับการคูณ matrix อื่นเข้าไปที่ทำให้เกิดการ operation นั้น(เช่น elementary matrix, permutation matrix, etc.) และถ้าสุดท้าย ถ้า A มี inverse; ผลคูณของทุก matrix ที่เป็นของแต่ละ operation ก็กลายเป็น$ A^{-1} $โดยปริยายตามนิยาม (เพราะทำให้ A กลายเป็น identity matrix) แล้วถ้าถามต่ออีกทำไมคนต้องคิดเรื่อง inverse?(มาได้ยังไง ฯลฯ) จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ยังมี inverse ได้, ฟังชันก็นิยาม inverse ขึ้นมาได้, ทำไมพอมา matrix คนจะคิดถึง inverse บ้างไม่ได้ครับ?
ส่วนเรื่องการทดลองทำหลายๆครั้งแล้วพบว่าจริง ถ้าคนที่ไม่ใช่นัก theory ก็จะทำซ้ำอยู่แค่นั้นแต่บอกเงื่อนไขไม่ได้,พิสูจน์ไม่ได้ในกรณีทั่วไปว่าทำไม,เพราะอะไรถึงจริงแล้วเมื่อไรไม่จริงฯลฯ ถ้าคนทำเป็นนักทฤษฏีก็จะ conjecture ว่ามันน่าจะจริงในเงื่อนไขอะไรก็ว่าไปแล้วพิสูจน์สิ่งที่ตัวเองคิดแล้วก็ตีพิมพ์ผลงานให้คนอื่นเอาไปใช้หรือต่อยอดต่อ คณิตศาสตร์ถึงมีทฤษฏีนู้นนี่เต็มไปหมดนี่ละครับ

1.ผมให้คำตอบกับตัวเองแล้วครับ สมมุตินำสมการเชิงเส้นสมการใส่ matrix จะไม่สามารถแก้สมการเป็น 1 0 0 ได้ ถ้าไม่ใช้ 3 สมการ ผมทำความเข้าใจแบบวาดระนาบกราฟในใจครับ ถ้ามีแค่สมการ 2 ระนาบ จะไปตัดกันเส้นนึง ทำให้เกิดอะไรได้มากมายเช่น x+y=2

2.คุณตอบตรงคำถามแล้วครับ ในบรรทัดสุดท้าย มีเว็บข้อมูลเกี่ยวกับการพิสูจน์ว่า X=BAกำลัง-1 จะเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นเสมอไหมครับ

ขอบคุณมากครับ

1. ต่อให้มี 3 ระนาบ, 10 ระนาบ ถ้ามันขนานกันหมดก็ไม่ตัดกันสักเส้นครับ, หรือถ้า 3 ระนาบ เป็นระนาบแบบสองระนาบใดๅมีจุดตัดกันแต่ไม่ทีจุดร่วมทั้ง3จุดก็ไม่มัคำตอบเหมือนกัน. ในทางกลับกัน ถ้ามีแค่ 3 ระนาบ แล้วใน3ระนาบนั้น มี2ระนาบตัดกันได้เส้นตรง และเส้นตรงนั้นดันอยู่บนระนาบที่ 3 แบบนี้ก็จะมีจำนวนคำตอบไม่จำกัด
และ linear system เกิดได้แค่ 3 กรณีนี้(why?) คือมี 1 unique solution หรือ no solution หรือ infinitely many solutions. ไม่มีกรณีมี 2,3,4,...,n คำตอบ.

2. เวปง่ายสุดผมว่าก็ Wikipedia นี่ละครับ https://en.m.wikipedia.org/wiki/Syst...near_equations
ส่วนในหนังสือ คิดว่ามีในหนังสือ linear algebra พื้นฐานทุกเล่ม และเป็นบทแรกๆด้วย เพราะเป็นเรื่องพื้นฐานมากๆ

ขอบคุณครับ