ช่วยหน่อยครับ
 

จงหาค่าของ

$\sqrt[3]{\sqrt{5}+2} + \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$

$\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8} - \sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}$

$\sqrt[3]{\sqrt{2x-1}} + \sqrt[3]{x-1} = 1$

$\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 5$

$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}$ --- 1
$x+y = 10$ --2 หาค่าของ $x,y$

ให้ $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2} = A \ \ \ \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} = B$

$AB = \sqrt[3]{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = 1$

$A^3+B^3 = 2\sqrt{5} $

$A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2) = (A+B)[(A+B)^2-3AB] = 2\sqrt{5} $

ให้ $(A+B) =x$ จะได้

$(x)[(x^2)-3(1)] = 2\sqrt{5} $

$x^3-3x-2\sqrt{5} = 0$

$x= \sqrt{5}, \ \ \frac{1}{2}(-\sqrt{5}\pm i\sqrt{3} ) $

$\sqrt[3]{\sqrt{5}+2} + \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}$

$x+y = 10$

$x = 10-y$ ....(*)

$(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2 = (\frac{5}{2})^2$

$\frac{x}{y} +2+\frac{y}{x} = \frac{25}{4}$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{25}{4} -2 = \frac{17}{4}$

แทนค่า $x$ จาก (*) $ \ \ \ \frac{10-y}{y}+ \frac{y}{10-y} = \frac{17}{4}$

$y=2 , \ \ 8$ แทนค่าใน (1) $ \ \ x = 8, \ 2$

$(x, y) = \{2, 8\} , \{8, 2\}$

$\sqrt{(x-1)+2\cdot 2\sqrt{x-1}+4 } +\sqrt{(x-1)-6\sqrt{x-1}+9 } =5$

$\sqrt{((\sqrt{x-1} )+2)^2} + \sqrt{((\sqrt{x-1} )-3)^2} =5$

$(\sqrt{x-1} +2 ) +(\sqrt{x-1} -3 ) =5$

$2\sqrt{x-1} -1 =5 $

$2\sqrt{x-1} =6 $

$x=10$

$$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}$$
สมการนี้มองเป็น $A+\frac{1}{A}=\frac{5}{2}$ หา $A$ ออกมา จะได้อัตราส่วน $x:y$ แล้วแทนกลับอีกสมการก็ได้ครับ :)

ขอ วิธีคิด อีกข้อนะครับ

จงหาค่าของ $$\frac{(7^4+2^6)(15^4+2^6)(23^4+2^6)(31^4+2^6)(39^4+2^6)(47^4+2^6)}{(3^4+2^6)(11^4+2^6)(19^4+2^6)(27^4+2^6)(35^4+2^6)(43^4+2^6) }$$

#6
ตอบ 481 รึป่าวครับ ไม่ชัวร์อะครับ

ให้ $ \ \sqrt[3]{3\sqrt{21}+8} = A, \ \ \ \sqrt[3]{3\sqrt{21}-8} = B$

$AB = \sqrt[3]{(3\sqrt{21}+8 )(3\sqrt{21}-8 )}= \sqrt[3]{9\cdot 21-64} =\sqrt[3]{125} = 5$

$A^3-B^3 = 3\sqrt{21}+8 -(3\sqrt{21}-8) = 16$

แต่ $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) = (A-B)[(A-B)^2+3AB]$

ให้ $A-B = x$

$16 = x(x^2+3(5))$

$x^3+15x-16 =0$

$(x-1)(x^2+x+16) =0$

$x=1 $

$\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8} - \sqrt[3]{3\sqrt{21}-8} =1 \ \ \ Ans.$

ขอแนวคิดหน่อยครับ :please::D

hint : $a^4+4b^4 =(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)$

ยังมองไม่ออกเลยครับ :sweat::please:

หรือจะเป็น $a^4+2^2b^4$ ?

เมื่อเช้า ผมคิดแนวนี้ แต่ก็ไปต่อไม่ถูก

ก็เลยหันมาใช้แบบตัวเลขแทน ถึกดี :haha:

จาก $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

จัดรูปข้างต้นเป็น

$(7^2)^2 +(2^3)^2 = (49)^2+ (8)^2 = (49+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 49 = 57^2-28^2 = (57+28)(57-28) = (85)(29)$

$(15^2)^2 +(2^3)^2 = (225)^2+ (8)^2 = (225+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 225 = 233^2-60^2 = (233+60)(233-60) = (293)(173)$

$(23^2)^2 +(2^3)^2 = (529)^2+ (8)^2 = (529+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 23^2 = 537^2-92^2 = (537+92)(537-92) = (629)(445)$

$(31^2)^2 +(2^3)^2 = (961)^2+ (8)^2 = (961+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 31^2 = 969^2-124^2 = (969+124)(969-124) = (1093)(845)$

$(39^2)^2 +(2^3)^2 = (1521)^2+ (8)^2 = (1521+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 39^2 = 1529^2-156^2 = (1529+156)(1529-156) = (1685)(1373)$

$(47^2)^2 +(2^3)^2 = (2209)^2+ (8)^2 = (2209+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 47^2 = 2217^2-188^2 = (2217+188)(2217-188) = (2405)(2029)$





$(3^2)^2 +(2^3)^2 = (9)^2+ (8)^2 = (9+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 9 = 17^2-12^2 = (17+12)(17-12) = (29)(5)$

$(11^2)^2 +(2^3)^2 = (121)^2+ (8)^2 = (121+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 11^2 = 129^2-44^2 = (129+44)(129-44) = (173)(85)$

$(19^2)^2 +(2^3)^2 = (361)^2+ (8)^2 = (361+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 19^2 = 369^2-76^2 = (369+76)(369-76) = (445)(293)$

$(27^2)^2 +(2^3)^2 = (729)^2+ (8)^2 = (729+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 27^2 = 737^2-108^2 = (737+108)(737-108) = (845)(629)$

$(35^2)^2 +(2^3)^2 = (1225)^2+ (8)^2 = (1225+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 35^2 = 1233^2-140^2 = (1233+140)(1233-140) = (1373)(1093)$

$(43^2)^2 +(2^3)^2 = (1849)^2+ (8)^2 = (1849+8)^2 - 2\cdot 8 \cdot 43^2 = 1857^2-172^2 = (1857+172)(1857-172) = (2029)(1685)$


$\dfrac{(85)(29)(293)(173)(629)(445)(1093)(845)(1685)(1373) (2405)(2029)}{ (29)(5)(173)(85)(445)(293)(845)(629)(1373)(1093)(2029)(1685)} = 481 $


มีใครถึกกว่านี้ไหม :haha:

เป็น แนวข้อสอบ สอวน. ครับ

ปล. ทำแบบลุง Banker กระดาษทดไม่พอแน่เลยครับ 55 +

ผมเป็นคนขี้เกียจ และไม่ถึก ครับ
$a^4+4b^4 =(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)=[(a-b)^2+b^2][(a+b)^2+b^2]$
แล้วมันจะตัดกันได้ครับ