ช่วยทีครับ รากๆ
 

ช่วยที่ครับแนะสามบรรทัดแรกก็ได้- -*

จงหาค่าของ $\frac{\left(6+\sqrt{35} \,\right)^\frac{3}{2} - (6-\sqrt{35}^\frac{3}{2} ) }{13\sqrt{10} }$

$(6+\sqrt{35} )^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{6+\sqrt{35}}\right)^3=\left(\sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}} \right)^3 =\left(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5} }{\sqrt{2} } \right)^3 $

$(6-\sqrt{35} )^{\frac{3}{2}}=\left(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5} }{\sqrt{2} } \right)^3 $

$(a+b)^3-(a-b)^3=\left((a+b)-(a-b)\right)\left[(a+b)^2+(a+b)(a-b)+(a-b)^2\right]=(2b)(3a^2+b^2)$

หมายถึงโจทย์แบบนี้หรือเปล่าครับ

$\dfrac{\left(6+\sqrt{35} \,\right)^\frac{3}{2} - (6-\sqrt{35} )^{\color{red}{\frac{3}{2}} }}{13\sqrt{10} }$

ให้ $\sqrt{6+\sqrt{35}} = a, \ \ \ \ \sqrt{6- \sqrt{35}} = b $

จะได้ $ \ \ \ \dfrac{\left(6+\sqrt{35} \,\right)^\frac{3}{2} - (6-\sqrt{35} )^{\color{red}{\frac{3}{2}} }}{13\sqrt{10} } = \dfrac{a^3-b^3}{13\sqrt{10}}$

$ = \dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{13\sqrt{10}}$

$ = \dfrac{(a-b)((\sqrt{6+\sqrt{35}})^2+(\sqrt{6+\sqrt{35}})(\sqrt{6-\sqrt{35}})+(\sqrt{6-\sqrt{35}})^2)}{13\sqrt{10}}$

$\dfrac{(a-b)(6+\sqrt{35}+\sqrt{36-35}+6-\sqrt{35} )}{13\sqrt{10}}$

$= \dfrac{(a-b) 13}{13\sqrt{10}} = \dfrac{a-b}{\sqrt{10}}$ ........(*)


$\sqrt{6+\sqrt{35}} = a = \sqrt{(\sqrt{\frac{7}{2}} +\sqrt{\frac{5}{2}} )^2} = \sqrt{\frac{7}{2}} +\sqrt{\frac{5}{2}}$

$\sqrt{6-\sqrt{35}} = b = \sqrt{(\sqrt{\frac{7}{2}} -\sqrt{\frac{5}{2}} )^2} = \sqrt{\frac{7}{2}} -\sqrt{\frac{5}{2}}$

$a-b = 2\sqrt{\frac{5}{2}} $

$\dfrac{a-b}{\sqrt{10}} = \dfrac{2\sqrt{\frac{5}{2}}}{\sqrt{10}} = 2 \sqrt{\frac{5}{20}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

ขออภัย ทีแรกว่าจะทำ 2 - 3 บรรทัด แต่ยิ่งทำยิ่งมันส์ ก็เลยทำจนจบ :D

ขอบคุณครับ