ข้อสอบต่อโท ที่จุฬาครับ 25-26 มค
 

ใครไปสอบที่จุฬา แล้วจำได้ก็มาช่วยโพสด้วยนะครับ....
ข้อที่จำได้นะครับ แฮ่ๆๆ (ที่จริงโจทย์มันแยกนะครับเป็น 5วิชา 5ชุด) แต่มันโจทย์มันคล้ายๆๆ กัน
1.) จงยกตัวอย่างค้านข้อความต่อไปนี้ ข้อละ 3 คะแนน
1.1) ถ้า lim g(x) = b เมื่อ xฎ a และlim f(x) = c เมื่อ xฎb แล้ว lim f(g(x)) = c เมื่อ xฎa


2.)ถ้าจริงจงพิสูจน์ ถ้าเท็จจงยกตัวอย่างค้าน ข้อละ 3 คะแนน
2.1) 3Z ไอโซมอฟิคกับ 4Z
2.2) ถ้า AอB แล้ว inf A ฃ inf B
2.3) f(AวB) = f(A)วf(B)
2.4) $f^{-1}$(R-A) = Z-$f^{-1}$(A) เมื่อ f : Rฎ Z
2.5) ให้ f : AฎB และ g:BฎC และ f ทั่วถึง และ g 1-1 ถ้า ghf=gkf แล้ว h = k

:blood: ผิดไปแล้วครับ :please: คงต้องทบทวนเรื่องนี้ใหม่ดีๆ ซะแล้ว
ข้อ 2.2 ไม่จริง เช่น $A=[0,1],\; \; B=[-1,2]$ จะเห็นว่า $A\subset B $ แต่ $\inf A \geq \inf B$

2.1 จริง สร้างฟังก์ชัน ส่ง 3 ไป 4 ก็จบครับ เพราะ $3\mathbb{Z}$ และ $4\mathbb{Z}$ เป็น cyclic group เวลาสร้าง isomorphism จึงเพียงพอที่จะส่ง generator ไป generator

2.4 โจทย์ไม่ make sense ครับ ที่ถูกควรจะเป็น

$f^{-1}(Z-A)=R-f^{-1}(A)$

เมื่อ $A\subseteq Z$

ซึ่งเป็นจริงครับ

2.5 เท็จ image ของ $h$ และ $k$ เท่ากันครับ แต่เราสามารถนิยาม $h,k$ ให้มีโดเมนต่างกันได้ ซึ่งฟังก์ชันสองฟังก์ชันจะไม่เท่ากันถ้าโดเมนไม่เท่ากัน ครับ

ดูข้อ1.1 อีกทีได้ไหมครับ คือเค้าบอกว่าให้ยกตัวอย่างค้าน อ่าครับ มันน่าจะเป็นเท็จนะครับ
ดู 2.3 อีกทีได้ไหมครับ พอมาถึง การพิสูจน์ว่าf(A)วf(B)อf(AวB)

ให้ $$ f(x)= g(x)= \cases{1 & ,x=0 \\ 0 & ,x\ne0} $$ ดังนั้น $$ f(g(x))= \cases{0 & ,x=0 \\ 1 & ,x\ne0} $$ ทำให้เราพบว่า $$ \lim_{x\to0} g(x) =0 $$ และ $$ \lim_{x\to0} f(x) =0 $$ แต่ $$\lim_{x\to0} f(g(x)) =1 \ne 0 $$

เท็จครับ ให้ $A=\{1,2\}, B=\{1,3\}, f(1)=1, f(2)=f(3)=2$
ดังนั้น $f(A\cap B)=f(\{1\})=\{1\}$
แต่ $f(A)\cap f(B)=\{1,2\}\cap\{1,2\}=\{1,2\}\ne\{1\}$

ประกาศผลแล้วนะครับสำหรับการสอบ คุณ shinn ผลเป็นยังไงบ้างครับ

เย้ๆๆๆๆๆ ผมติดครับ ดีใจสุดสุดครับ

Congratulations !!! :great:

ไปทาง pure math หรือเปล่าครับ. :great: