สอวน.มข. ค่าย 2 2557
 

เนื่องจากไม่เคยเข้าค่าย 2 จึงไปขอข้อสอบจากเพื่อนมา เพื่อดูว่าจะได้เรียนอะไรบ้าง จึงรบกวนผู้รู้ช่วยชี้แนะด้วยนะคะ ว่าเป็นเนื้อหาในเรื่องใด หาอ่านได้จากที่ไหน
แล้วก็อยากจะได้แนวคิดวิธีทำด้วย เพื่อเป็นแนวทางในการศึกษาค่ะ

แผ่นแรกบอกชื่อวิชาไว้ในข้อสอบแล้ว

แผ่นที่สองกับสามเป็นวิชาอสมการครับ

เฉลยรอท่านต่อไปนะ

ตรงหน้า อสมการนะครับ

1.เนื่องจาก $x,y,z\ge 2$ จะพบว่า $x^3+y\ge 5x$ เนื่องจาก $x^3+y\ge x^3+2$ และ $x^3+2\ge 5x\leftrightarrow (x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})(x-2)\ge 0$

ซึ่งจริงเพราะ $x\ge 2$ จากนั้นก็นำทั้งสามอสมการมาคูณกันครับ ก็จะได้ $(x^3+y)(y^3+z)(z^3+x)\ge 5x\cdot 5y\cdot 5z=125xyz$

2. สมมุติ $\dfrac{a_i}{b_i}=\min\left\{\,\dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},...\dfrac{a_n}{b_n}\right\} $ เราจะได้ว่า $a_ib_j\le a_jb_i$ สำหรับทุก $j=1,2,...n$

ดังนั้น $a_ib_1+a_ib_2+...+a_ib_n\le a_1b_i+a_2b_i+...+a_nb_i$ ก็จะได้ว่า $$\frac{a_i}{b_i}=\min\left\{\,\dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},...\dfrac{a_n}{b_n}\right\} \le \frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n}$$ ตามต้องการครับ

3. เคยมีคนเฉลยเเล้วเเถวๆนี้เเหละครับ

4.เเทน $a=x+y,b=y+z,c=z+x$ จะได้ $s=x+y+z$ และอสมการที่ต้องการพิสูจน์เปลี่ยนรูปเป็น $$\frac{2(x+y)(x+y-z)}{x+y+2z}+\frac{2(y+z)(y+z-x)}{y+z+2x}+\frac{2(z+x)(z+x-y)}{z+x+2y}\ge x+y+z$$
ซึ่งสมมูลกับ $\displaystyle 2\sum_{cyc} \frac{(x+y)^2}{x+y+2z}+\sum_{cyc}\frac{(2z)^2}{x+y+2z}\ge 3(x+y+z)$

ซึ่งเป็นจริงจาก Cauchy-Shwraz inequality นั่นเองครับ

อสมการหน้า 2 ข้อ 2
Let $\min \left\{ \dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},...,\dfrac{a_n}{b_n} \right\} =k$

then $a_i \ge kb_i$ for all $1 \le i \le n$
$\therefore \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n} \ge \dfrac{kb_1+kb_2+\cdots+kb_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}=k$

อีกข้างก็ทำเหมือนกันครับ

ไม่แน่ใจว่าค่ายหนึ่งยังเรียนอสมการอยู่ไหม ถ้ายังไม่เรียนก็อาจจะงงพวกการใช้อสมการ A.M-G.M, Cauchy อยู่นะครับ ลองหาอ่านเพิ่มเติมดู

เพิ่มหน้า 1 ข้อ 1 ให้ด้วย
$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}>\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}$ (บวกกัน $n$ ตัว)

ฝั่งขวา ใช้เอกลักษณ์
$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots -\dfrac{1}{2n}$
$=\dfrac{1}{1 \cdot 2}+\dfrac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\dfrac{1}{(2n-1)2n}$
ให้ $S=\dfrac{1}{3 \cdot 4}+\dfrac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\dfrac{1}{(2n-1)2n}$
จะได้ว่า $S<\dfrac{1}{2 \cdot 3}+\dfrac{1}{4 \cdot 5}+\cdots +\dfrac{1}{(2n-2)(2n-1)}$
นำมาบวกกัน $2S<\dfrac{1}{2 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 4}\cdots +\dfrac{1}{(2n-1)2n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n}<\dfrac{1}{2}$

ดังนั้น $S<\dfrac{1}{4}$, นั่นคือ $\dfrac{1}{2}+S < \dfrac{3}{4}$

ขออภัยครับ แต่ไม่เห็นโจทย์ครับ กรุณาโพสใหม่อีกครับได้ไหมครับ ขอบคุณครับ

ลงใหม่แล้วค่ะ

ขอขอบคุณทุกท่านมากๆค่ะ ที่ชี้แนะแนวทาง ข้อสอบยากเหลือเกิน

ขอบคุณครับ