Trigonometry จาก USAMO !!!
Prove that the average of the numbers $n sin n (n = 2, 4, 6, . . . , 180)$ is $cot 1.$
|
ช่วยเขียนโจทย์ทิ้งไว้ก่อน เพื่อให้ง่ายในการดู
$\dfrac{2sin2+4sin4+6sin6+...+180sin180}{90} = cot1 $ $sin2=sin178$ $sin4=sin176$ ไปจนถึง $sin88=sin92$ $2sin2+4sin4+6sin6+...+180sin180 = 180(sin2+sin4+sin6+...+sin88) +180sin180+90sin90$ $sin180=0,sin90=1$ มาคิด$sin2+sin4+sin6+...+sin88$ $sin2+sin4+sin6+...+sin88=\dfrac{2sin1}{2sin1} (sin2+sin4+sin6+...+sin88)$ $sin2+sin4+sin6+...+sin88=\dfrac{1}{2sin1} \times (2sin1sin2+2sin1sin4+...+2sin1sin88) $ $=\dfrac{1}{2sin1} \times([cos1-cos3]+[cos3-cos5]+...+[cos85-cos87]+[cos87-cos89]) $ $=\dfrac{1}{2sin1} \times([cos1-cos89]) $ $= \dfrac{1}{2}(cot1-1)$....นำไปแทนในสมการ $\dfrac{2sin2+4sin4+6sin6+...+180sin180}{90} =\dfrac{1}{90}\times (90(cot1-1) +90sin90) =cot1$.....ได้ตามโจทย์ต้องการ ไม่รู้ว่าเป็นข้อสอบUSAMOปีไหนครับ...น่าจะรุ่นปี197-กว่าหรือ198-กว่ามั้งครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:27 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha