โจทย์หัดเเต่งเองครับ
 

Let $x,y,z>0$ and $xyz=1$
Prove that $$\frac{1}{x(y^2+z^2)+3}+\frac{1}{y(z^2+x^2)+3}+\frac{1}{z(x^2+y^2)+3}\le \frac{3}{5}$$

งดงามมากเลยครับ

คงอยากให้ใช้ A.M.-G.M. กับส่วนล่างใช่ไหมครับ :)

$a^2+b^2 \ge 2ab \Rightarrow \dfrac{1}{c(a^2+b^2)+3} \le \dfrac{1}{2abc+3}$

$\dfrac{1}{x(y^2+z^2)+3}+\dfrac{1}{y(z^2+x^2)+3}+\dfrac{1}{z(x^2+y^2)+3} \le \dfrac{3}{2xyz+3} =\dfrac{3}{5}$

ไม่รู้ถูกเปล่านะครับ มีโจทย์ (ดัดแปลงมา)



$( a,b,c >0 ,\dfrac{3x}{x+1}+\dfrac{4y}{y+1}+\dfrac{5z}{z+1} =1)$

$$x^3y^4z^5 \le \dfrac{1}{11^{12}}$$

ได้เเล้วเหรอครับ ง่ายไปจิงๆเเหะ 555

Let $x,y,z>0$ such that $xy+yz+zx=xyz$
Prove $$\frac{x+2y-z}{z+x}+\frac{y+2z-x}{x+y}+\frac{z+2x-y}{y+z}\ge \frac{xyz}{x+y+z}$$

$\dfrac{3x+3-3}{x+1}+\dfrac{4y+4-4}{y+1}+\dfrac{5z+5-5}{z+1} =1$

$\dfrac{-3}{x+1}+\dfrac{-4}{y+1}+\dfrac{-5}{z+1} =-11$
$\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{4}{y+1}+\dfrac{5}{z+1} =11$

$\dfrac{12}{\frac{3}{x+1}+\frac{4}{y+1}+\frac{5}{z+1}} =\dfrac{12}{11} $ ---(1)

แต่ $\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{4}{y+1}+\dfrac{5}{z+1} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x}}+\dfrac{4}{2\sqrt{y}}+\dfrac{5}{2\sqrt{z}}$

(1) จัดรูป;

$\dfrac{12}{\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+...+\frac{1}{\sqrt{z}}} \geqslant \dfrac{6}{11} $

GM-HM;

$\sqrt[24]{x^3y^4z^5} \geqslant \dfrac{6}{11} $

$x^3y^4z^5\geqslant (\frac{6}{11} )^{24} = (\frac{36}{121} )^{12} > \frac{1}{11^{12}} $

$\therefore x^3y^4z^5 \le \dfrac{1}{11^{12}}$ เป็นเท็จ

โดยอสมการโคชี $(\sum_{cyc}^{} \frac{x+2y-z}{z+x})(\sum_{cyc}^{} (x+2y-z)(z+x) )\geqslant (2x+2y+2z)^2 $

แต่ $\sum_{cyc}^{} (x+2y-z)(z+x)=(4xy+4yz+4xz)$
จะแสดงว่า $\frac{(2x+2y+2z)^2}{\sum_{cyc}^{} (x+2y-z)(z+x)} =\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz} \geqslant \frac{xyz}{x+y+z}$

จาก$xyz=xy+yz+xz$ได้อสมการสมมูลกับ$ (x+y+z)^3\geqslant (xy+yz+xz)^2\geqslant$
$3xyz(x+y+z)=3(xy+yz+xz)(x+y+z)$ ซึ่งได้ $(x+y+z)^2\geqslant 3(xy+yz+xz)$ เป็นจริงโดยอสมการโคชี

note: ผมทำผิดนะ(บรรทัดแรกสุดนะ)เพราะว่า ถ้าดูจากอสมการโคชีที่ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=2439 แล้วต้องได้ว่า$ \sqrt{\frac{x+2y-z}{x+z} } ,\sqrt{\frac{y+2z-x}{y+x} } ,\sqrt{\frac{z+2x-y}{y+z} } ,\sqrt{\frac{x+2y-z}{z+x} } ,\sqrt{\frac{y+2z-x}{x+y} } ,\sqrt{\frac{z+2x-y}{y+z} } \in \mathbb{R} $ ซึ่งถ้าในรูทติดลบมันก้อจะไม่อยู่ใน$\mathbb{R}$ ตามที่คุณ LightLucifer บอกครับ

#7
ผมไม่ได้ทำอสมการมานาน แต่คิดว่าต้อง $(x+2y-z) \geq 0$ ด้วยถึงจะจริงอ่ะครับ
แต่ถ้าผิดก็ขออภัยด้วย ไม่ได้แตะนานละ

ปล. เดี๋ยวนี้ เทพ อสมการเพียบเลยเนอะ บอร์ดนี้ ^^

ผมไม่คิดว่าข้อนี้จริงนะครับ

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cfrac{x%2B2y-z}{z%2Bx}%2B%5Cfrac{y%2B2z-x}{x%2By}%2B%5Cfrac{z%2B2x-y}{y%2Bz}-%5Cfrac{xyz}{x%2By%2Bz}%2Cx%3D%280.1%2B0.1%2B1000%29%2F1000%2Cy%3Dz%3D%281000%2B0.1%2B0.1%29%2F0.1

#6
พิสูจน์กลับข้าง???

เลือก $\frac{3x}{x+1}=\frac{5}{24} $,$\frac{4y}{y+1}=\frac{9}{24} $,$\frac{5z}{z+1}=\frac{1}{2} $ ได้ $x=\frac{5}{67}$,$y=\frac{9}{85}$,$z=\frac{1}{9}$
ลองดู http://www.wolframalpha.com/input/?i=%285%2F67%29^3%289%2F85%29^4%281%2F9%29^5-%281%2F11%29^12
ได้ $L.H.S-R.H.S.>0$ ซึ่งไม่จริง

#11
ยกตัวอย่างค้านผิดนะครับ

#9 มั้นต้องสอดคล้องเงื่นไขนะครับ -*-

ก็ตรงนิครับ

http://www.wolframalpha.com/input/?i...2B0.1%29%2F0.1

#14 เเล้วทำไมผมพิสูจน์ได้อ่ะครับ -*-