โจทย์เรื่อง group of finite order
 

โอ๊ย...เครียด ...ผมกำลังจะสอบวิชา Abstract algebra เกี่ยวกับ Theory of finite group อ้ะครับ
แบบนำความรู้เรื่อง sylow, finitely generated abelian group , conjugacy อะไรแนวๆนี้มายำกัน
แบบว่าเขียน proof ไม่ค่อยได้เลย....รบกวนผู้รู้ช่วยผมหน่อยนะครับ...ตอนนี้ผมขอ 2 ข้อด่วนๆเลยนะคร้าบ:please:

1. Suppose $G$ is a group of order 48. Show that the intersection of any two distinct Sylow 2-subgroups of $G$ has order 8

>> ข้อนี้ถ้าใช้ sylow ก็จะได้ว่า $G$ มี sylow 2-subgroup ที่มี order เป็น 16 อยู่ไม่ 1 ก็ 3 subgroup
อย่างในกรณีที่เป็น 1 ก็ได้ว่ามันเป็น normal แค่นี้ ไม่ต้องพิสูจน์อะไรเพราะมัน trivial แต่ในกรณีที่เป็น 3 จะพิสูจน์ยังไงครับว่าอินเตอร์เซกชันกันแต่ละคู่ต้องมี order เป็น 8 ....ผมไม่แน่ใจว่าจะใช้เรื่อง conjugacy มาช่วยได้มั้ย:confused:

2. Suppose $G$ is a group of order 60 . If the Sylow 3-subgroup is normal , show that the Sylow 5-subgroup is normal.

>> ข้อนี้ถ้าใช้ sylow ก็จะได้ว่า $G$ มี sylow 3-subgroup ที่มี order เป็น 3 อยู่ไม่ 1 ก็ 4 subgroup
มี sylow 5-subgroup ที่มี order เป็น 5 อยู่ไม่ 1 ก็ 6 subgroup แต่โจทย์เค้าบอกว่า sylow 3-subgroup
มัน normal แปลว่ามัน unique ให้พิสูจน์ว่า sylow 5-subgroup มัน normal ก็คือต้องพิสูจน์ว่ามัน unique
แต่จะแสดงยังไงล่ะครับว่ากรณีที่มี 6 subgroup น่ะ..มันใช้ไม่ได้:confused:

รบกวนผู้รู้ช่วยผมหน่อยนะครับ.....ผมจะสอบแล้ว...:please: