ข้อสอบ PMWC 2014 (บุคคลแปลไทย+Team Eng)
 

เว็บ chiuchang ยังไม่มานะครับ น่าจะเร็ว ๆ นี้ ข้อสอบประเภทบุคคลฉบับแปลไทยอันนี้มีคนส่งมาให้ครับ. :great:

น่าจะมาจากกลุ่มไลน์ที่ไหนสักกลุ่มครับ. :rolleyes:

ผมยังไม่ได้ลองคิดครับ เชิญแก้ได้ตามสะดวก :happy:

เพิ่มข้อสอบประเภททีมครับ. :cool:

ข้อที่ 10 คล้ายกับ TME ประถม 6 ปี 2554 ข้อที่ 30

มีข้อ 10 บุคคล ซ้ำกับ 7th team ครับ ชอบเอาโจทย์เก่ามาวนหลายครั้ง

พยายามทำแล้วคะ แต่ไม่สำเร็จ:wacko: รบกวนช่วยแสดงวิธีคิดข้อ 2,6,8,9 ให้ด้วยคะ ขอบคุณมากคะ :please::please::please:

อ่านไม่ออกก็ขอโทษด้วยครับ

พยายามแกะลายมือหน่อยนะครับ

ขอบคุณมากคะ รบกวนข้อ6และ8ด้วยคะ

.............

ข้อนี้ ทำไม่เป็นครับ
ลองหาค่าไปเรื่อยๆ จนได้ค่าที่(คิดว่า)ต่ำสุดมั้งครับ

ข้อ 8. บุคคล วิธีการแบบเดาคร่าว ๆ รวดเร็วก็คือใช้อสมการโคชี (Cauchy Inequality) ครับ

โดยจะเป็นสมการเมื่อ $a_i/b_i$ มีค่าเท่ากันหมด

โดยอสมการโคชี เราได้ว่า $(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d) \ge (1+1+1+1)^2 $

ดังนั้น $a+b+c+d \ge 16\times \frac{10}{7} = 22\frac{6}{7}$

และจะเป็นสมการเมื่อ $a = b = c = d = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$

แต่เราทราบว่า $a, b, c, d$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a + b + c + d \ge 23$

โดยถ้ามีผลเฉลยดังกล่าวที่ทำให้ $a+b+c+d = 23$ ค่าของ $a, b, c, d$ ก็ต้องมีค่าเท่า ๆ กันคือราว ๆ 5 ถึง 6 ซึ่งเมื่อลองเกลี่ยดูก็จะได้ผลลัพธ์ที่คุณ narongratp เขียนเอาไว้ครับ.

ข้างบน เอาไว้เดาถ้าไม่มีเวลาคิด :haha:

แต่สำหรับวิธีจริง ผมจะเริ่มให้คร่าว ๆ ดังนี้ครับ

โดยไม่เสียนัยทั่วไปจะสมมติให้ $a \le b \le c \le d$

จึงได้ว่า $1/a \ge 1/b \ge 1/c \ge 1/d $

จากโจทย์ จึงได้ว่า $\frac{7}{10} \ge \frac{4}{d}$ แล้ว $d \ge 5\frac{5}{7}$

เราเลือกให้ $d$ น้อยสุดที่เป็นไปได้คือ ให้ $d = 6$ จากนั้นนำไปแทนค่ากลับไปจะได้

$1/a + 1/b + 1/c = 8/15$

จากนั้นทำคล้าย ๆ กันก็จะกระเทาะค่า $c, b, a$ ที่น้อยสุดออกมาตามลำดับได้ครับ

ปล.วิธีนี้ยังนำไปใช้กับโจทย์ สพฐ.ข้อที่ 25 ของปี 2558 รอบที่ 1 ได้ครับ คือโจทย์แนวเศษส่วนแบบนี้ นำไปใช้ได้หมด เช่น อาจจะตั้งโจทย์ว่า จงหาผลเฉลยที่เป็นจำนวนนับทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $1/a+1/b+1/c = x/y$ ทำนองนี้ครับ.

ขอบคุณครับ

ข้อ 3.บุคคล คิดได้ c=675 ไม่แน่ใจว่าถูกเปล่าครับขอคำชี้แนะด้วยครับ

$b+c+d=3c=x^2$ เพราะ c เป็นค่าเฉลี่ยของตัวเลขชุดนี้

$a+b+c+d+e=5c=y^3$ เพราะ c เป็นค่าเฉลี่ยของตัวเลขชุดนี้

จะได้ $c =\frac{x^2}{3} = \frac{y^3}{5}$

นำ $\frac{x^2}{3} = \frac{y^3}{5}$ มาพิจารณ

$x = y\sqrt{ \frac{3y}{5}} $ y ที่มีค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ y=15 ได้ c =675

จะได้
$a=673, b=674, c=675, d=676, e=677$
$b+c+d=2,025=45^2$
$a+b+c+d+e=3,375=15^3$ ประมาณนี้ครับรบกวนผู้รู้ช่วยตรวจสอบด้วยครับว่าถูกต้องเปล่าครับ

ขอแนวทางการคิดข้อ 10. บุลคลด้วยครับคิดไม่ออก ขอบคุณครับ

ข้อนี้ มีวิธีคิดอยู่หลายแบบครับ ในที่นี้ผมจะแสดงวิธีคิดแบบเซต โดยใช้หลักความจริงที่ว่า

โจทย์ให้ $|A| = 90, |B| = 80, |C| = 70, |D| = 60$ โจทย์ต้องการถามว่า $|C \cap D| = ?$

จากสูตร $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ จึงได้ $|A \cup B| = 80 + 90 - |A \cap B|$

แต่ $|A \cup B| \le 100$ ดังนั้น $|A \cap B| \ge 70 $ ... (1)

ในทำนองเดียวกัน จะได้ $|C \cap D| \ge 30 $ ... (2)

ความจริงอันประเสริฐก็คือ :great:

ทถ(0) + ทถ(1) + ทถ(2) + ทถ(3) = 100 ... (*)

ทถ(0) = $|A' \cap B' \cap C' \cap D'|$
ทถ(1) = $|A \cap B' \cap C' \cap D'| +|A' \cap B \cap C' \cap D'| + |A' \cap B' \cap C \cap D'| + |A' \cap B' \cap C' \cap D| $
ทถ(2) = $|A \cap B \cap C' \cap D'| + |A \cap B' \cap C \cap D'| $
$+ |A \cap B' \cap C' \cap D| + |A' \cap B \cap C \cap D'| $
$+ |A' \cap B \cap C' \cap D| + |A' \cap B' \cap C \cap D|$
ทถ(3) = $|A \cap B \cap C \cap D'| + |A \cap B \cap C' \cap D| + |A \cap B' \cap C \cap D| + |A' \cap B \cap C \cap D|$

โดยที่ $|A \cap B| = |A \cap B \cap C \cap D'| + |A \cap B \cap C' \cap D| + |A \cap B \cap C' \cap D'|$

$|C \cap D| = |A \cap B' \cap C \cap D| + |A' \cap B \cap C \cap D| + |A' \cap B' \cap C \cap D| $

แต่จาก (1) , เราทราบว่า $|A \cap B| \ge 70 $

ดังนั้นจากสมการ (*) เราได้ว่า $|C \cap D| \le 30 ... (3)$

(ไม่อย่างนั้น จะทำให้ซ้ายมือของสมการ (*) มากกว่า 100)

จากอสมการ (2) และ (3) จึงสรุปได้ว่า $|C \cap D| = 30$ เป็นคำตอบที่ต้องการครับ.

ปล. โจทย์จะซ้ำกับ PMWC2003 ครับ.