สงสัยเรื่องค่าพาย
 

ผมมีความสงสัยว่าถ้าเราเทียบค่าพายในเลขฐานสองกับฐานสิบมันจะมีค่าที่ตกไปไหมเช่น เราบอกว่าค่าประมานของพายในฐานสิบที่ทศนิยมสี่หลักคือ 3.1415 เราสามารถหาค่าที่เท่ากันในจำนวนทศนิยมของการหาพายด้วยค่าฐานสองได้ไหม ถ้าได้เราลองเพื่อไปอีกหลักแล้วหาอีกเราจะเทียบค่าของพายทั้งสองฐานได้เสมอหรือปล่าวครับจริงๆแล้วยังมีคำถถามต่ออีกแต่เริ่มตรงนี้ก่อน ครับ:)

ผมยังไม่เข้าใจในแนวคิดนี้สักเท่าไหร่ แต่เท่าที่ดูนับว่าเป็นข้อสงสัยที่ดีทีเดียวเรื่องการเปลี่ยนทศนิยมจากฐานสิบเป็นฐานสอง ผมจะให้ข้อมูลในส่วนของผมบางอย่างดังนี้นะครับ
ผมลองคิดเล่นๆ เช่น 0.1 ฐานสิบเมื่อเปลี่ยนเป็นฐานสองแล้วได้ทศนิยมอะไร????
$0.1=\frac{1}{10} =\frac{1}{16}+\frac{3}{128} +\frac{9}{1024}+\frac{27}{8192}+...$
มันได้อนุกรมเรขาคณิตอนันต์โดยแต่ละพจน์แปลงเป็นเลขฐานสองได้คือ
$0.1=0.0001_{2}+0.0000011_{2}+0.0000001001_{2}+0.0000000011011_{2}+....$
เหมือนได้ทศนิยมไม่รู้จบ....ในฐานสอง
ผมเดาว่าทศนิยมในฐานสองที่ได้น่าจะมีรูปแบบอย่างใดอย่างหนึ่งที่แน่นอนครับ เพราะถ้ามันไม่มีรูปแบบที่แน่นอนอาจจะขัดกับหลักคณิตศาสตร์หรือเปล่า? ต้องคิดต่อ........

รู้สึกว่ามีมหาลัยในโลก ที่มีรูป $\pi $ เป็นสัญลักษณ์มหาลัย ผมจำไม่ได้แต่นะครับ ฝรั่งยุโรปชอบแกะสลักหินเป็นรูปทรง Isothopic ต่างๆ ก็มี แกะมาตั้งแต่สมัย ตักสิลา ที่บันทึกไว้ในตำราคัมภีร์ศาสนาพุทธ

เท่ากันครับ ที่คุณสงสัยแบบนี้ก็เพราะคุณคุ้นชินกับฐานสิบเกินไป เลยคิดว่าตัวเลข pi ในฐานสองต้องได้จากการแปลงฐานสิบมาเป็นฐานสอง

ลองคิดว่า pi เป็นจุดๆหนึ่งบนเส้นจำนวน แล้วเราค่อยๆบวก $1,0.1,0.01,0.001,...$ ไปเรื่อยๆจนใกล้ค่า pi สิครับ เราจะได้ค่า pi ที่แท้จริงไหม คำตอบก็คือไม่มีทาง (เพราะต้องบวกเป็นอนันต์ครั้ง)

ดังนั้นไม่ว่าจะเขียนตัวเลข pi ในฐานสิบ หรือฐานสองไปกี่ตำแหน่งก็ตาม ก็ไม่มีทางเท่ากับค่า pi ที่แท้จริงอยู่่แล้ว
แต่ก็เกิดเรื่องว่าเราต้องนำค่า pi นี้ไปเขียนให้คนทั่วๆไปรู้เรื่อง ก็เลยมีการใช้สัญลักษณ์ ...

คือ $\pi = 3.14159...$ ซึ่งก็ถูกต้องในทางคณิตศ่าสตร์ (เพราะคณิตศาสตร์ถือว่าการบวกกันอนันต์ครั้งหาค่าได้โดยกันการบวกกันจำกัดครั้งและ take limit สู่ infinity)

ดังนั้นไม่ว่าจะเขียน $\pi = 3.14159..._{10} = 11.001..._2$ ก็ต่างเป็นการ(พยายามยัดเยียดแต่ก็ไม่สำเร็จ)เขียนค่าเดียวกันลงบนฐานที่ต่างกัน ดังนั้นค่ามันเลยเท่ากัน

หมายเหตุ ถ้าบวกทศนิยมแรกๆของฐานสองของค่า pi อาจจะไม่ได้เท่ากับ $3.14159...$ เพราะว่าในฐานสองทศนิยมลู่เข้าค่อนข้างช้าครับ อาจจะต้องบวกหลายพจน์หน่อยถึงจะเห็นว่ามันลู่เข้าที่ $3.14159...$ จริงๆ และถ้าจะเทียบหลักต่อหลักอาจจะต้องใช้ฐาน 2 ประมาณ 3-4 หลัก ถึงจะเก็บข้อมูลได้เท่ากับฐานสิบประมาณ 1 หลัก

ตามหลักแล้วจำนวนตรรกยะเมื่อเขียนรูปทวินิยม (อารมณ์แบบทศนิยม อ่ะ) แล้วต้องเป็นทวินิยมซ้ำครับ

ครับ ผมกำลังพูดถึงค่าพายที่วัดได้ครับ ว่าการเปลี่ยนฐานส่งผลกระทบต่อค่าพายที่วัดได้อย่างไร เพราะเวลาเราใช้คำนวนเราคำนวนสิ่งที่เราวัดครับเช่นเราอาจแทนการเปลี่ยนฐานของค่าพายเทียบกับองศาของมุมสามเหลี่ยมบนื้นผิวโค้งที่กำลัง เปลี่ยนขนาดก็ได้คือผมเทียบสิ่งที่เป็นรูปธรรมกับรูปธรรม ถ้าคุณ take limit เข้าหา infinity แล้วมันเท่ากันแต่ปันหาที่เราเจอ มักจะอยู่ในรูปแบบที่ไม่ใช่อุดมคติเพราะฉะนั่นเราต้องtake limit ออกจาก infinity ครับในการจัดการปันหาพวกนี้ครับ

Weird & Worst ผมทราบมามีเรื่องการปัดเศษ หรือ ชุดจำนวนพิเศษที่เหมาะสมและรับได้ บอกเป็นเปอร์เซ็นต์ดีกว่า % ครับ

ถ้าได้แบบนั้นก็ถือว่าเข้าใจแล้วล่ะครับ :great:
อย่างที่บอกไปแล้วฐาน 10 1 หลักจะเทียบเท่ากับฐาน 2 ประมาณ 3-4 หลัก
ดังนั้นถ้าคุณจะหาค่าพายที่ละเอียดเท่ากับ 3.14159 ในฐานสองคุณต้องหาทศนิยมประมาณ 15 หลัก
แต่ค่าไม่สูญหายไปไหนหรอกครับ

ที่ว่าเปอร์เซ็นต์ดีกว่า % %ที่ว่านี่คือ mod ใช่ไหมครับ ผมขอแย้งตรงนี้ได้ไหมครับ ผมคิดว่าที่จริงแล้วระบบ remainder ดีกว่าครับ

% error ครับ เคยเห็นหนังสือพิมพ์ออกมาอยู่ แต่ตอนนั้นผมไม่รู้จะซื้อหาเก็บไว้ทำไม เป็นตัวเลขยาวๆ ทั้งเล่ม คิดว่าห้องสมุดน่าจะเก็บไว้ ที่จุฬาลงกรณ์นะครับ
(แต่สมัยนี้ไม่แน่ไม่นอน อาจจะย้ายไปไหนแล้วก็ไม่รู้หนังสือที่อ่านยาก)