sequence
โจทย์ข้อนี้ผมคิดว่าจะเอาไปออกข้อสอบ เพื่อน ๆ สมาชิกลองทำดูนะครับว่าง่ายหรือยากไปรึเปล่า
จงหา lim an เมื่อ an + 1 = (an + an - 1)/2 |
โจทย์ระดับไหนล่ะครับ แล้วไม่บอกค่าของ a1, a2 เหรอครับ :rolleyes:
|
ป.ตรี ปี 1 ครับ ลืมบอกไปว่าตอบอยู่ในรูปของ a1 และ a2
|
โห...ผมว่ายากไปมากๆๆเลยนะครับ ผมไม่รู้ว่ามีวิธีทำง่ายๆรึเปล่า แต่ถ้าให้ผมทำผมจะ
ทำโดยการหาพจน์ทั่วไป an ก่อน โดยการแก้ linear recurrence equation 2an+1 - an - an-1 = 0 ซึ่งจะได้ an = (a1 + 2a2)/3 + (4/3)(a2 - a1)/(-2)n แล้วจึงหาลิมิต ซึ่งจะได้ผลลัพธ์คือ (a1 + 2a2)/3 :rolleyes: |
แต่นักศึกษาปี 1 แก้ difference equation ไม่เป็นนะครับ ถ้ามี hint ว่าให้เขียน Sk=1n(ak+1 - ak) ในรูปของ a1 และ a2 จะยากไหมครับ
|
ถ้าให้ Guide line อย่างที่ว่า ก็คงเข้าถึงได้นะครับ. แต่คงไม่ทุกคน น่าจะมีสัก 20%
เอ.แต่ ป.ตรี ปี 1 เขาควรจะเรียน Generating function ไปหรือยังครับ. ผมใช้ Generating function solve ตลอด เอาแค่ recurrence แบบ 2 ตัวแปรก็พอมั้งครับ. เช่น pan + 1 = qan + r (1) จงตอบรูปทั่วไปของ an ในเทอมของ a0 และ p, q, r (2) หา lim ในข้อ (1) เมื่อ ... |
ถ้าไม่ใช้วิธีไม่แก้ recurrence ก็ยากอยุ่นะคับ
ไม่ทราบว่าคุณ warut เล่น msn รึเปล่าครับ ขออีเมล์ไว้คุยหน่อยคับ |
ไม่มี msn ครับ มีแต่ e-mail ซึ่งส่งไปให้ทางข้อความส่วนตัวแล้วครับ อยากคุยอะไร
เกี่ยวกับคณิตศาสตร์หรือวิทยาศาสตร์ก็เชิญเลยครับ แต่เรื่องอื่นไม่เอานะครับ นอกเสีย จากว่าคุณ M@gpie จะเป็นนักศึกษาสาวๆ อิอิอิ อ้อ...ถ้าผมตอบช้าก็ต้องขอโทษไว้ก่อนนะครับ เพราะปกติผมตอบจดหมายช้าสุดๆ :p |
ไม่ทราบว่า hint ที่ อ. alongkorn ให้มาคือให้ทำอย่างข้างล่างนี้รึเปล่าครับ
จาก ak+1 - ak = ak-1 - ak+1 ดังนั้น nSk=2 ak+1 - ak = nSk=2 ak-1 - ak+1 จะได้ว่า an+1 - a2 = a1 + a2 - an - an+1 นั่นคือ 2an+1 + an = a1 + 2a2 ใส่ลิมิตเข้าไป สมมติให้ลิมิตที่ต้องการคือ L จะได้ 2L + L = a1 + 2a2 นั่นคือ L = (a1 + 2a2)/3 ถ้าหมายถึงให้ทำอย่างนี้จริงๆล่ะก็ เราต้องพิสูจน์การมีอยู่ของลิมิตด้วย ซึ่งมันจะยิ่ง ยุ่งยากเข้าไปใหญ่ ผมว่านะ :rolleyes: |
แบบ Elementary นะครับ :)
สมมติว่า a1 ฃ a2 เราจะพบว่าช่วงของ (a2n+1 , a2n+2) เล็กลงไป 4 เท่าเสมอ จึงได้ว่า
แสดงให้เห็นว่า
ดังนั้น
|
ขอบคุณมาก ๆ ครับสำหรับทุกคำตอบ โดยเฉพาะคุณ warut ที่ช่วยเตือนเกี่ยวกับ m-tail sequence ซึ่งกล่าวดังนี้ (informal นะครับ)
ลำดับ xn+m ลู่เข้า ก็ต่อเมื่อลำดับ xn ลู่เข้า และถ้า xn ลู่เข้าแล้ว lim xn+m = lim xn นั่นคือต้องพิสูจน์ให้ได้ว่าลำดับที่โจทย์ให้มานั้นลู่เข้า ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ความจริงที่กล่าวว่า ทุกลำดับโคชีเป็นลำดับลู่เข้า ซึ่งถ้าจะพิสูจน์มาในแนวทางนี้เห็นทีจะไม่ไหว น่าจะเป็นข้อสอบวิชา math analysis ปี 3 มากกว่า ผมก็มีวิธีคิดดังนี้ครับ |
ว้าว...แต่ละคนคิดไม่เหมือนกันเลย แปลกดี :)
ยังไง อ. alongkorn ก็ยั้งมือให้เด็กๆบ้างนะครับ น่าสงสารน้องๆ freshy น่ารักๆทั้งนั้นเลย ;) ว่าแต่คุณ TOP นี่ชอบปรากฎตัวขึ้นอย่างไม่คาดฝันเสมอ เหมือนพวก superhero เลยครับ :D |
สำหรับวิธีของคุณ TOP ผมคิดว่ามีปัญหานิดหน่อยนะครับ เพราะว่า a2n+1 เป็น subsequence ของ an ไม่ใช่ m-tail sequence ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ subsequence มีดังนี้ครับ
ทฤษฎีบท ถ้าลำดับ an ลู่เข้า แล้วทุกลำดับย่อย (subsequence) ของ an ลู่เข้า ยกตัวอย่างเช่น {an} = {1, -1, 1, -1, ...} จะพบว่า a2n+1 ลู่เข้าสู่ -1 แต่ an ลู่ออก ดังนั้นการที่ lim a2n+1 หาค่าได้ไม่ได้หมายความว่า lim an จะหาค่าได้และมีค่าเท่ากับ lim a2n+1 ครับ |
ขอบคุณ คุณ alongkorn ที่ท้วงครับ (ก็สงสัยและรออยู่หลายวันเช่นกันว่า ทำไมไม่มีใครท้วงประเด็นนี้สักที หรือทุกคนคิดว่ามันไม่มีปัญหา :)) ถ้าอ่านตามวิธีที่เขียนไปก็เป็นเช่นนั้นจริง แต่จริงๆ แค่เขียนให้เห็นแนวคิดบางส่วนเท่านั้น ว่าทำแบบ elementary ได้ ทางแก้ให้สมบูรณ์มี 2 วิธีคือ
1. พิสูจน์ให้ได้ว่า an ลู่เข้า ซะก่อน (ก็จะเป็น m-tail) ตรงนี้ให้พิจารณาจากช่วงของ (a2n+1, a2n+2) ที่บอกไปแล้วว่าเล็กลง 4 เท่าเสมอ ดังนั้น ที่อนันต์จะได้ช่วงนี้เป็นศูนย์ จึงลู่เข้า หรือ 2. พิจารณาทำนองเดียวกันกับ a2n+2 จะพบว่าที่อนันต์ ทั้ง a2n+1 และ a2n+2 ลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน ดังนั้น an จึงลู่เข้าและลู่เข้าสู่ค่าเดียวกันกับ a2n+1 หรือ a2n+2 |
ไร้ที่ติแล้วครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:16 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha