ขอวิธีเพิ่มเติมหน่อยครับ
 

โจทย์มีอยู่ว่า

ให้ $(R, +)$ เป็นกรุป และ $(R, \cdot)$ มีสมบัติ ดังนี้
1. สมบัติปิด
2. มี $1$ เป็นเอกลักษณ์
3. มีสมบัติการจัดหมู่
และ 4. มีสมบัติการประจาย $(\qquad \forall a, b \in R, a(b+c)=ab+ac$ and $(b+c)a=ba+ca \qquad )$

จงแสดงว่า $\forall a, b \in R, a+b=b+a$

วิธีที่ทำก็คือ ให้ $a, b \in R$
เนื่องจาก $(a+b)(1+1)=a+b+a+b$ และ $(a+b)(1+1)=a+a+b+b$ ดังนั้นจึงได้ตามต้องการ

ขอความช่วยเหลือท่านสมาชิกทั้งหลาย กรุณาให้แนวทางอื่นๆอีกหน่อยครับ

ขออนุญาต ขุดนะครับ คงไม่ว่ากัน :p

หาไม่เจอครับ เคยลองหาแล้ว

ครับผม ขอบคุณครับ

งั้นขอถามเพิ่มเติมนะครับ

Let $S$ be a semigroup. Prove that the following are equivalent:
(a) $\forall a \in S \exists ! x \in S$ such that $ax \in E(S)$ where $E(S)$ is the set of all idempotent of $S$
(b) $\forall a \in S \exists ! x \in S$ such that $a=axa$
(c) $S$ is regular semigroup containing exactly one idempotent.
(d) $S$ is a group.

ตอนนี้ผมได้แล้วว่า $(a) \Rightarrow (d) \Rightarrow (b) \Rightarrow (c)$ แต่เหลือ $(c) \Rightarrow (a)$ โดยเหลือการแสดงว่ามีเพียงหนึ่งเดียวนะครับ ทำไมออกเลย กรุณาด้วยครับ :wacko:

ถ้า $a=axa$ แล้ว $x=xax$ ด้วยมั้ยครับ

ผมลืมไปแล้ว ถ้าอันนี้จริงก็ออกครับ

อ้อ ไม่จริงครับ $x=x$$a$$x$ ตัวตรงกลาง อาจจะไม่ใช่ $a$ ตัวเดิมก็ได้อะครับ

คือถ้าไม่ออกจริงๆ พอจะมีทางทำแบบอื่นมั้ยครับ เดินไปไหนก่อนได้บ้าง

สมมติ $(c)$ จริง ให้ $e$ เป็น idempotent (เพียงตัวเดียว)

จะพิสูจน์ก่อนว่า $e$ เป็นเอกลักษณ์ของ $S$

สมมติ $u\in S$ จะมี $v\in S$ ซึ่ง $uvu=u$

ดังนั้น $uvuv=uv,vuvu=vu$ จึงได้ว่า $uv=e=vu$

$ue=uvu=u$ และ $eu=uvu=u$

ดังนั้น $e$ เป็นเอกลักษณ์

ให้ $a\in S$ จะมี $x$ ซึ่ง $axa=a$ จะได้ว่า $xa=ax=e\in E(S)$

สมมติมี $y\in S$ ที่ $ay\in E(S)$

จะได้ว่า $ay=e$ และ $ya=e$

$y=ye=yax=ex=x$