สอวน. คณิตศาสตร์ ศูนย์ศิลปากร ครับ ( 2553 )
 

ผมพึ่งไปสอบมาสดๆเลยวันนี้ มีทั้งหมด 12 ข้อนะครับ เติมคำตอบ 9 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน

แสดงวิธีทำ 3 ข้อ ข้อละ 10 คะแนน รวม 75 คะแนนครับ

แบบเติมคำตอบครับ

1. กำหนดให้ $x^2 - \sqrt{7}x + 1 = 0$ จงหาค่าของ $\frac{x^8+x^6+x^2+1}{x^4}$
(ตอบเป็นจำนวนเต็ม)

2. กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนเต็ม จงหาจำนวนของคู่อันดับ (x,y) ที่สอดคล้องกับสมการ
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

3. ถ้าตั๋วเข้าชมฟุตบอลราคา 50 บาท จะมีผู้เข้าชมฟุตบอลจำนวน 10000 คน ถ้าราคาตั๋วแพงขึ้น 5 บาท
แล้วคนดูจะลดลง 100 คน จงหาราคาตั๋วที่ทำให้ได้เงินในการจัดแข่งขันฟุตบอลมากที่สุด

4. กำหนดให้ A เป็นเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่มีค่าไม่เกิน 13 กำหนดให้ B เป็นเซตใดๆ
และกำหนดให้ $M \subseteq A$ ถ้า $n(A-B) = 3$ และ $n(A \cap B) \leqslant 2$
ถามว่ามีเซต M ทั้งหมดกี่แบบ

5. นาย ก กล่าวว่า " ถ้าคุณลบสองในสามของเวลา ณ ตอนนี้ถึงเที่ยงของวันพรุ่งนี้ ออกจากสองเท่าของเวลา
เที่ยงถึงตอนนี้ คุณจะได้เวลาตอนนี้ที่ช้าไป 10 นาที " เวลาตอนนี้ที่นาย ก กล่าวถึงคือเวลาใด

อีก 4 ข้อที่เหลือเป็น ตรรกศาสตร์ยาวๆซึ่งผมจำโจทย์ไม่ค่อยได้ 1 ข้อ ที่เป็นรูป 2 ข้อ และอนุกรมอย่างง่าย 1 ข้อ

แบบแสดงวิธีทำ

1. กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง ที่ $P(x) \geqslant 0$ และ a เป็นจำนวนเต็มที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้
1) $P(a) = 0$
2) $P(a+1) = 1 $
จงแสดงวิธีหาค่าของ $P(a+2) + P(a+1)$ อย่างละเอียด

2. กำหนดให้ $[x]$ แทนจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$
จงเขียนวิเคราะห์การหาคำตอบของจำนวนจริง $x$ ในสมการ $x[x] = 11$

อีก 1 ข้อเป็นโจทย์เกี่ยวกับสามเหลี่ยมยาวมากครับ จำไม่ได้

-----------------------------------------------------------------------------------

เดี๋ยววันไหนว่างๆจะนำวิชาคอมพิวเตอร์มาลงนะครับ แต่ปีนี้คอมพิวเตอร์ง่ายมากๆเลยครับ ไม่มี ม.ปลาย มาเกี่ยวเนื่อง

ด้วยเลย โดยวิชาคอมพิวเตอร์มีข้อสอบปรนัย 40 ข้อนะครับ เป็นคณิตศาสตร์ซะส่วนใหญ๋

แล้วก็เป็นอัตนัย 2 ข้อครับ ดังนี้ครับ

1. เป็นการเขียน FlowChart ครับ

2. กำหนดให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นคำตอบของสมการ $2ax^2 - a^2x + 3 - a = 0$ จงหา $\frac{\alpha +\beta }{\alpha \cdot \beta }$

--------------------------------------------------------------------------------------

ขอให้ทุกท่านมาช่วยกันเฉลยวิธีคิดนะครับ ขอบคุณมากครับ

ข้อนี้ให้แก้สมการใช่ไหมครับ คงไม่ใช่ให้เขียนโปรแกรมแก้ อย่างหลังทำไม่เป็นครับ
จัดรูปสมการแล้วได้ว่า ถ้า$\alpha,\beta $เป็นรากของสมการ $ax^2+bx+c=0$
จะได้ว่า$\alpha+\beta = -\frac{b}{a} $ และ$\alpha\bullet \beta = \frac{c}{a} $
ดังนั้นค่าของ$\frac{\alpha +\beta }{\alpha \cdot \beta }= \frac{ -\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} $
$= -\frac{b}{c} $
จากสมการ $2ax^2 - a^2x + 3 - a = 0$ จะได้ว่า

$\dfrac{\alpha +\beta }{\alpha \cdot \beta }= \dfrac{a^2}{3 - a} $

$A=\left\{\,2,3,5,7,11\right\} $
เซต$M$ เป็นไปได้$2^5$....ถ้าโจทย์ถามแค่นั้น ไม่รู้ว่าเซต$B$จะบอกมาเพื่ออะไร...งงครับ
รบกวนเช็คโจทย์อีกทีครับ ผมว่าโจทย์น่าจะบอกว่า$M\subset B$ แบบนี้หรือเปล่าครับ

ลืมบอกไปครับว่า $\alpha และ \beta $ เป็นคำตอบของสมการครับ โทษที

$x^2 - \sqrt{7}x + 1 = 0\rightarrow x+\dfrac{1}{x} =\sqrt{7} $

$x^2+\dfrac{1}{x^2} = 5$ และ $x^4+\dfrac{1}{x^4} = 23$

$\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8} = \dfrac{x^4+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4} }{x^4} $
$=\dfrac{23+5}{x^4} = \dfrac{28}{x^4} $.....ไปหาค่า$x^4$ ต่ออีกทีจาก $x^4+\dfrac{1}{x^4} = 23$
ให้้$A=x^4$ จะได้ว่า$A+\dfrac{1}{A} = 23 \rightarrow A^2-23A+1=0$
$A= \dfrac{23\pm \sqrt{23^2-4} }{2} = \dfrac{23\pm \sqrt{525} }{2}$
$A= x^4=\frac{23}{2} \pm \frac{5\sqrt{21} }{2} $

$\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8} =\dfrac{28}{x^4} $
ถ้า$x^4=\frac{1}{2}(23+5\sqrt{21} ) $
$\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8} =\dfrac{28\times 2}{23+5\sqrt{21}} $
$\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8}= 14(23+5\sqrt{21})$
ถ้า$x^4=\frac{1}{2}(23-5\sqrt{21} ) $
$\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8}= 14(23-5\sqrt{21})$

ขอติดในรูปรูทก่อน...ไม่เห็นได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มเหมือนที่โจทย์ต้องการเลย...หรือผมคิดผิด
ขอตัวก่อน ถ้าคืนนี้เครื่องไม่น๊อค หลังจากอดนอนมาสองวัน จะเข้ามาแจมครับ

นั่นน่ะสิครับ ผมก็สงสัยอยู่จะบอกเซต B มาเพื่ออะไร แต่โจทย์ถูกแล้วครับ

ขออภัยอย่างแรงเลยครับๆ :please: ผมพิมพ์โจทย์ผิดครับ T^T มันต้องส่วนด้วย $x^4$ ครับ

ขอโทษจริงๆนะครับ ผมรีบไปหน่อยครับ T^T

อย่างนั้นข้อนี้ก็ตอบว่า$28$
ไม่เป็นไรครับ แค่ทำข้อสอบให้ทันก็แทบจะหมดแรงแล้ว นี่ยังใจดีช่วยจำโจทย์มาแบ่งปันสมาชิกMC
ก็ถือว่าเยี่ยมแล้วครับ :great::great::great:

คือมีอีกข้อนึงเป็นวงกลมน่ะครับ ข้องใจมากๆเลย

ไม่ทราบว่ามีโปรแกรมที่ไว้ใช้ทำรูปทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะเลยรึเปล่าครับ

แสดงวิธีทำข้อ 1

ให้ $P(x)=Ax^2+Bx+C$

จาก 1) จะได้ว่า $C=0$

$\therefore P(x)=Ax^2+Bx$

จาก 1) และ 2) จะได้

$P(a)+1=P(a+1)$

$Aa^2+Ba+1=Aa^2+(2A+B)a+A+B$

$\therefore A=0,B=1,a=0$

$\therefore P(x)=x$

$\therefore P(a+2)+P(a+1)=P(2)+P(1)=2+1=3$ ไม่รู้ถูกหรือเปล่านะครับ:sweat:

ข้อ 2
เราสามารถ เขียน ความสัมพันธ์ ระหว่าง x,y ได้คือ

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{x} = \dfrac{y-2}{2y} ,\dfrac{1}{y}+\dfrac{x-2}{2x}$

โดย $y-2 \left|\,\right. 2y , x-2 \left|\,\right. 2x$
$\dfrac{2y}{y-2}, \dfrac{2x}{x-2} \in \mathbb{Z} $
$2+\dfrac{4}{y-2} ,2+\dfrac{4}{x-2} \in \mathbb{Z} $
ตัวประกอบทั้งหมดของ $4$ คือ $-4,4,2,-2,1,-1$
$y-2 = -4 , y= -2$
$y-2 = 4 , y=6$
$y-2 = 2 , y=4$
$y-2 = -2 , y = 0$ ใช้ไม่ได้
$y-2 = 1 $ ,$y=3$
$y-2 = -1$ , $y= 1$

คงต่อได้แล้วนะครับ

ข้อ 3
ไม่แน่ใจเหมือนกันครับ
เราต้องการหาจำนวนตั๋วซึ่งทำให้เงินมีค่ามากที่สุด นั่นคือ
ให้ $A$ แทน ราคาตั๋วที่เพิ่มขึ้น
เขียนรูปแบบทั่วไปคือ $(50+A)(10000-20A) = -20A^2 + 9000A + 500000$

ใช้สูตร $A = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-9000}{2(-20)}$
$A$ มีค่ามากสุดคือ $225$

ราคาตั๋วที่มากที่สุดคือ $225+50 = 275$ บาท

ผิดขออภัยด้วย :please:

ผมก็คิดได้ 275 เหมือนกัน

จำนวนเฉพาะเป็นลบไม่ได้เหรอครับ

ข้อ3
ถ้าเราให้จำนวนเงินเพิ่มขึ้นnครั้ง ครั้งละ5บาท จำนวนคนก็จะลดลงครั้งละ100nด้วย
จึงตั้งสมการว่า
(50+5n)(10000-100n)=-$n^2$+90n+1000
จะมีค่ามากสุดเมื่ออนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นลบ
ซึ่งสมมติy=-$n^2$+90n+1000
y'=-2n+90
y''=-2
ซึ่งอนุพันธ์อันดับสองให้ค่าติดลบจึงมีค่ามากสุดเป็นความจริงดังนั้นจึงหันไปดูอนุพันธ์อันดับหนึ่งซึ่งจากการหาอนุพันธ์อับดับหนึ่ง
y'=-2n+90 จะเท่ากับศูนย์จึงได้ค่าสูงสุด
-2n+90=0
n=45
ดังนั้นเมื่อn=45จำนวนเงิน=50+5(45)=275บาท
ตอบ 275บาท
หรือข้อนี้ก็ตั้งสมการแล้วใช้พาราโบล่าหาค่าxโดยสูตร x=-b/2aก็จะได้คำตอบเดียวกันครับ