Advanced Calculus
 

พอดีว่าผมเพิ่งเริ่มเรียน Ad cal น่ะครับเลยอยากสอบถามว่าทำเเบบนี้ได้มั้ยน่ะครับ :please:

Proof that If $\displaystyle \lim_{P\rightarrow A} f(P)=L$ and $\displaystyle \lim_{p\rightarrow A} g(P)=M$ then $\displaystyle \lim_{P\rightarrow A} f(P)g(P)=L\cdot M$

จาก $\displaystyle \lim_{P\rightarrow A} f(P)=L$ เเละ $\displaystyle \lim_{p\rightarrow A} g(P)=M$ ได้ว่า $\displaystyle \forall \epsilon>0 $ จะมี $\delta_1,\delta_2 >0$ ที่ซึ่ง $0<||P-A||<\delta_1,\delta_2$ ที่ทำให้เกิด $|f(P)-L|<\dfrac{-(|L|+|M|)+\sqrt{(|L|+|M|)^2+4\epsilon}}{2}$
เเละ $|g(P)-M|<\dfrac{-(|L|+|M|)+\sqrt{(|L|+|M|)^2+4\epsilon}}{2}$ ตามลำดับ

NOTE
$\displaystyle\epsilon_0=\dfrac{-(|L|+|M|)+\sqrt{(|L|+|M|)^2+4\epsilon}}{2}$

พิจารณา
$\displaystyle |f(P)g(P)-L\cdot M|=|(f(P)-L)(g(P)-M)+L(g(P)-M)+M(f(P)-L)|$
$\displaystyle \le |f(P)-L||g(P)-M|+|L||g(P)-M|+|M||f(P)-L|\le \epsilon_0^2+(|L|+|M|)\epsilon_0=\epsilon$

อีกอันเป็นการหารนะครับ

Lemma If $L\not=0$ and $\displaystyle \lim_{P\rightarrow A} f(P)=L$ then $\displaystyle \lim_{P\rightarrow A}\frac{1}{f(P)}=\frac{1}{L}$

Proof: $\forall \epsilon>0$ there exist $\delta>0$ ซึ่ง $0<||P-A||<\delta$ ทำให้เกิด $|f(P)-L|<t\epsilon$ เมื่อ $t\in\mathbb{R^+}$ ซึ่ง $t<|Lf(P)|$
พิจารณา $$\Big|\frac{1}{f(P)}-\frac{1}{L}\Big|=\Big|\frac{f(P)-L}{Lf(P)}\Big|<\frac{t\epsilon}{|Lf(P)|}<\frac{t\epsilon}{t}=\epsilon$$

ดังนั้นจากผลการคูณ $\displaystyle\lim_{P\rightarrow A} \frac{f(P)}{g(P)}=(\lim_{P\rightarrow A} f(P))\Big(\lim_{P\rightarrow A}\frac{1}{g(P)}\Big)=\frac{L}{M}$ ตามต้องการ

ไม่ต้องอัดεขนาดนั้นก็ได้มั้งเรามี ใช้ทฤษฎีเก่าๆแบบsequential criterion for functional limit +algebraic limit thm for sequences ก็น่าจะออกไม่ยาก
แต่ถ้าจะบู๊จริงๆข้อแรก มันน่าจะคลีนได้กว่านี้ ลองlet ε>0 be arbitrary. ทีนี้เลือกδ=Max{δ_1,δ_2} แล้วพยายามเอาอสมการอันเก่า2อันมา bondอันใหม่

พวกค่าเฉลี่ย AM. GM. HM. นี่ต้องคล่องหน่อยนะครับ ไม่งั้นอ่านหนังสือไม่รู้เรื่อง สมัยผมเรียนแรกๆ ก็ประทับใจอาจารย์ ตรงที่ท่านผูกสิ่งต่างๆ ทางคณิตศาสตร์เข้าไว้ด้วยกันเป็นสมการ มีขั้นตอนวีธีคิด ท่านคล่องมากเลย