โจทย์เลขคร้าบบบบ...หยุด
 

ช่วยคิดทีครับ
2^2546 =1000q+r เมื่อ q และ rเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า r <10000 จงหาค่า r

จาก เพชรยอดมงกุฎ 2546 (ผมเพิ่งได้มาครับ)

ถ้าเป็นผมก็คงทำคล้ายๆแบบเดิมที่เคยแสดงไปแล้ว ใครมีวิธีทำแบบอื่นๆก็ช่วยบอกด้วยนะครับ

จาก \(2^{\phi\left(125\right)}=2^{100}\equiv1\pmod{125}\)
จะได้ \(2^{2500}=\left(2^{100}\right)^{25}\equiv1\pmod{125}\)
ดังนั้น \(2^{2503}\equiv2^3\equiv8\pmod{1000}\)

เนื่องจาก \(2^{10}=1024\equiv24\pmod{125}\)
จะได้
\[2^{40}\equiv\left(25-1\right)^4\equiv25^4-4\cdot25^3+6\cdot25^2-4\cdot25+1\]
\[\equiv-4\cdot25+1\equiv-100+1\equiv25+1\pmod{125}\]
ดังนั้น \(2^{43}\equiv2^3\left(25+1\right)\equiv208\pmod{1000}\)

สรุปได้ว่า \(2^{2546}\equiv2^{2503}\cdot2^{43}\equiv8\cdot208\equiv1664\equiv664\pmod{1000}\)

จากจุดนี้การหาค่า r ก็ไม่ใช่เรื่องยากแล้วครับ :D

ข้อสอบเพชรยอดมงกุฎระดัดไหนหรอครับ
ดูโจทย์แล้วน่าจะเป็นของม.ปลายนะครับ

สำหรับโจทย์นี้เป็นโจทย์ของม.ต้น(ลืมบอก)
แต่วิธีนี้มันใช้ทฤษฎีจำนวนและอีกอย่างข้อสอบก็มี 80 ข้อครับเวลาสอบก็2ชม. แล้วถ้าใช้วิธีนี้แล้วมันจะพอกับเวลาหรือครับ????
ถ้าเป็นไปได้ช่วยหาวิธีคิดสำหรับเด็กม.ต้นครับ
ขอบคุณครับ

เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้นมีข้อนั้นด้วยหรอครับ..
แล้วก็ รู้สึกว่ามีข้อนึง เกี่ยวกับเรื่อง โอเปอเรชันเนี่ย ยากมากๆ(ของปี 47 ) พอจะจำโจทย์ได้ไหมครับ ;)

พอดีผมไม่ได้ไปสอบเพชรยอดมงกุฎครับ (มันชนกับ สอวน.)
ถ้าจำได้ ก็ช่วยลงให้หน่อยนะครับ :rolleyes:

ยังคิดแบบง่าย ๆ ล้วน ๆ ไม่ได้ครับ. เท่าที่ลองทำตอนนี้ คงต้องเล่นเกมส์ควานหาเศษ 1 ให้เจอก่อน ปัญหามันอยู่ตรงนี้ ว่าจะรู้ได้ไง ตรงนี้ขอโกงก่อนก็แล้วกัน

\( 2^{10} = 1024 = 1000 + 24 = 125(8) + 24 = 125t_1 + 24\)

\(2^{20} = (125t_1 + 24)^2 = (125t_1)^2 + 2(24)(125t_1) + 24^2 = (125t_1)^2 + 2(24)(125t_1) + 500 + 76 = 125t_2 + 76\)
\(2^{40} = 125t_3 + 26\)
\(2^{80} = 125t_4 + 51\)
\(2^{100} = (2^{20})(2^{80}) = (125t_2 + 76)(125t_4 + 51) = 125t_5 + 3876 = 125t_5 + 31(125) + 1 = 125m + 1\)
นั่นคือ \(2^{100}\)จะหารด้วย 125 แล้วเหลือเศษ 1 จากนั้นก็ทำคล้าย ๆ แบบคุณ warut ต่อ

เอาแบบง่ายๆนะครับ :)
\[
\begin{array}{rcl}
\because\ 2546 & = & 100111110010_2 = 2048 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 2 \\
2^{2546} & = & 2^{2048 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 2 } = 2^{2048} \cdot 2^{256} \cdot 2^{128} \cdot 2^{64} \cdot 2^{32} \cdot 2^{16} \cdot 2^2 \\
2^{2} & = & 4 \\
\left(2^2\right)^2 & = & 2^4 = 16 \\
\left(2^4\right)^2 & = & 2^8 = 256 \\
\left(2^8\right)^2 & = & 2^{16} = \ldots 536 \\
\left(2^{16}\right)^2 & = & 2^{32} = \ldots 296 \\
\left(2^{32}\right)^2 & = & 2^{64} = \ldots 616 \\
\left(2^{64}\right)^2 & = & 2^{128} = \ldots 456 \\
\left(2^{128}\right)^2 & = & 2^{256} = \ldots 936 \\
\left(2^{256}\right)^2 & = & 2^{512} = \ldots 096 \\
\left(2^{512}\right)^2 & = & 2^{1024} = \ldots 216 \\
\left(2^{1024}\right)^2 & = & 2^{2048} = \ldots 656 \\
\therefore\ 2^{2546} & = & (\ldots 656) \cdot (\ldots 936) \cdot (\ldots 456) \cdot (\ldots 616) \cdot (\ldots 296) \cdot (\ldots 536) \cdot 4 \\
& = & \ldots 664
\end{array}
\]

เนื่องจากเพชรยอดมงกุฎเป็นการสอบแข่งขัน ลักษณะของข้อสอบย่อมแตกต่างจากข้อสอบไล่
ในชั้นเรียนอย่างแน่นอนครับ เป้าหมายของข้อสอบแข่งขันก็คือการคัดสรรหาคนเก่ง และ
สามารถแยกแยะคนเก่งทั้งหลายออกได้ว่าใครเก่งกว่า ดังนั้นการที่ข้อสอบออกแบบมาให้เป็น
แบบที่ทำไม่ทันจึงไม่ใช่เรื่องแปลก (จะว่าไปแล้วเป็นเรื่องที่จำเป็นด้วยซ้ำ) ทำนองเดียวกัน
การที่ข้อสอบจะมีการเอาเนื้อหาเกินหลักสูตรมาแซมบ้างเล็กน้อยก็เป็นเรื่องธรรมดา จะได้รู้ว่า
มีใครบ้างที่ได้ศึกษาไปเกินกว่าที่หลักสูตรกำหนด ผมเชื่อว่าคนที่ประสบความสำเร็จในการ
สอบแข่งขันส่วนใหญ่คงไม่ได้ยึดติดกับขอบเขตที่หลักสูตรกำหนดไว้เท่าไหร่หรอกครับ

กลับไปที่โจทย์นะครับ คุณ Alberta คิดว่าทำแบบที่ผมทำนั้นกินเวลาสักเท่าไหร่เหรอครับ
ถึงยังเร็วไม่ทันใจ แล้วถ้าวิธีนี้ยังเร็วไม่พอคุณ Alberta ยังจะคาดหวังอีกเหรอครับว่าใช้
วิธีแบบ ม.ต้น แล้วจะเร็วกว่า วิธีที่ผมแสดงนั้นมีการคำนวณเข้ามาเกี่ยวข้องน้อยมาก และ
การคำนวณที่เกี่ยวข้องก็เป็นการคำนวณง่ายๆทั้งสิ้น มีโอกาสผิดพลาดน้อย ที่ผมพิมพ์ให้ดู
อาจจะดูเหมือนยืดยาด ทั้งนี้ก็เพื่อให้คนที่สนใจสามารถอ่านเข้าใจได้โดยง่าย ถ้าทำใน
กระดาษทดขั้นตอนบางอันก็ตัดทิ้งไปได้ อย่างเช่น การกระจาย (25 - 1)⁴ ก็ไม่จำเป็นต้อง
ทำออกมาทุกพจน์เพราะเราสนใจเฉพาะสองพจน์สุดท้ายเท่านั้น พจน์ๆอื่นจะหารด้วย 125
ลงตัวหมด ข้อเสียของวิธีนี้คือเกินหลักสูตร น่าจะเกินหลักสูตร ม.ปลาย ด้วยซ้ำ ผมคิดว่าระดับ
ม.ปลาย คงยังไม่ได้สอนเรื่อง Euler's f function นะครับ ถ้าทำแบบวิธีที่ 2 ของคุณ TOP
อันนี้คงไม่เกินหลักสูตร แต่คงจะกินเวลามหาศาลและโอกาสเกิดความผิดพลาดก็คงสูงมากด้วย

อ้อ...อีกเรื่องนึง...ผมไม่รู้ว่าโจทย์ข้อนี้มีคำตอบให้เลือกตอบรึเปล่า ถ้ามี...เทคนิคในการทำ
โจทย์อาจแตกต่างไปจากนี้มากครับ

ของเพชธยอดมงกุฎจะออกเนื้อหาลึกขนาดไหนได้ครับ

ผมทำใช้ mod เช่นเดียวกับคุณwarut นะครับ

ฟังช้่น $\phi $ ใช้ยังงัยแล้วนะครับ