สอบถาม PMWC 2005 1 ข้อ ครับ
 

Question 3:
Let x be a fraction between 36/35 and 183/91 . If the denominator of x is 455 and the numerator and denominator have no common factor except 1, how many possible values are there for x?
(แปลโจทย์ จากหนังสือ คณิตประถมโลก เล่ม 2 ครับ)
กำหนดให้ x เป็นจำนวนเศษส่วน และ x มีค่าระหว่าง 36/35 กับ 183/91 ถ้าตัวส่วนของ x คือ 455 และตัวเศษและตัวส่วนของมันต้องไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย นอกจาก 1 จงหาว่าจะมีค่า x ที่เป็นไปได้ทั้งหมดกี่ค่า
คำตอบจากหนังสือ คือ 6 ค่า แต่คิดได้ 289 ค่า ครับ

ผมคิดได้ 283 ครับ. :rolleyes:

$ \frac{36}{7 \cdot 5} < x < \frac{183}{7 \cdot 13}$

$ \frac{36}{7 \cdot 5} \times \frac{13}{13} < x < \frac{183}{7 \cdot 13} \times \frac{5}{5} $


$ \frac{468}{455} < x < \frac{915}{455}$

$ 469 \leqslant ตัวเศษ \leqslant 914 \ \ \ \ \ $มี $ \ \ 446 \ $จำนวน แต่บางจำนวนไม่มี ห.ร.ม. เป็น 1

จำนวนที่มี 5, 7, 13 เป็นตัวประกอบ ต้องตัดออก มีทั้งหมด 163 จำนวน ?

446 - 163 = 283 จำนวน ?

ขอบคุณ คุณ gon และ อา banker มาก มากครับ

ผมจะลองทบทวนดูอีกทีครับ

ลองคิดดูใหม่ได้ 283 จำนวน แล้วครับ

ขออนุญาต นำวิธีคิดของ อา banker มาใช้นะครับ

จากจำนวนเต็ม 446 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 468 และ 915
ตัวเศษที่เป็นไปได้ คือ จำนวนที่ไม่เป็นพหุคูณของ 5 ,7 หรือ 13
ดังนั้นตัวเศษที่เป็นไปไม่ได้ คือ จำนวนที่เป็นพหุคูณของ 5 ,7 หรือ 13

พหุคูณของ 5 ได้แก่ 470 , 475 ,……, 910 รวม 89 จำนวน
พหุคูณของ 7 ได้แก่ 469 , 476 ,……, 910 รวม 64 จำนวน
พหุคูณของ 13 ได้แก่ 481 , 494 ,……, 910 รวม 34 จำนวน
รวมทั้งหมดเป็น 89+64+34 = 187 จำนวน

ใน 187 จำนวนนี้ มีจำนวนที่ซ้ำกันอยู่ แยกเป็น 4 พวก คือ
1. หาร 5 และ 7 ลงตัว ได้แก่ 490 , 525 ,……, 910 มีทั้งหมด 13 จำนวน
2. หาร 7 และ 13 ลงตัว ได้แก่ 546 , 637 ,………. , 910 มีทั้งหมด 5 จำนวน
3. หาร 5 และ 13 ลงตัว ได้แก่ 520 , 585 ,……….., 910 มีทั้งหมด 7 จำนวน
4. หารทั้ง 5 , 7 และ 13 ลงตัว มีจำนวนเดียว คือ 910

นำจำนวนที่คิดได้มาใส่ในวงกลมข้างล่าง เริ่มจากในสุดไล่มาข้างนอก

ตัวเลขที่อยู่ในวงกลมทั้งสาม รวมกันได้ 163
นั่นคือ จำนวนที่เป็นพหุคูณของ 5 , 7 หรือ 13 ที่อยู่ระหว่าง 468 และ 915 เท่ากับ 163 จำนวน
ดังนั้น จำนวนเศษส่วนที่เป็นไปได้ทั้งหมด = 446-163 = 283 จำนวน

ติดอยู่อีกข้อนึงครับ ในหนังสือเฉลยแบบให้สุ่มไปเรื่อยๆ
(โจทย์มาจาก http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=10110 แปลโดยคุณกิตติ ครับ)
ข้อ9.มีจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนที่เรียงกันติดต่อกันตามลำดับ(จากน้อยไปมาก..จำนวนแรกมีค่าน้อยที่สุด)โดยที่จำนวนทั้งสี่นี้มีค่าน้อยกว่า $2005$ .จำนวนแรก(ที่มีค่าน้อยที่สุด)เป็นพหุคูณของ 5(คือ5หารลงตัว),จำนวนที่สองเป็นพหุคูณของ 7, จำนวนที่สามเป็นพหุคูณของ 9 และ จำนวนที่สี่เป็นพหุคูณของ 11.จงหาค่าของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดในสี่จำนวนนี้

ข้อนี้จะคล้ายหรือเหมือนกับ IWYMIC 2001 ข้อที่ 4 ครับ. :)

ให้ x, x+1, x+2, x+3 เป็นจำนวนดังกล่าว ซึ่งจะได้ว่า
x = 5a
x=7b-1
x=9c-2
x=11d-3

ซึ่งปัญหาดังกล่าวจะสมมูลกับปัญหาที่ว่า ซึ่งปกติแล้วถ้ามีความรู้เรื่อง congruence ก็จะทำได้ไม่ยากครับ :great:

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=11249

ก็คือการแก้ระบบสมการคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น นั่นเอง บางคนก็จำสูตรทฤษฎีบทเศษเหลือของชาวจีน

แต่ผมมีเทคนิคส่วนตัวที่คิดขึ้นมาเมื่อประมาณ 8 ปีก่อน เพื่อใช้อธิบายเด็กประถม โดยไม่ต้องใช้ความรู้เรื่อง congruence แต่อย่างใด เพียงเล่นเกมเติมตัวเลขเท่านั้น นั่นก็คือถ้าคุณ FedEx แก้ปัญหาในรูปแบบที่ว่าเป็น ก็จะสามารถหาเป็นสูตรออกมาได้ว่า x = 3465k + 1735 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ครับ.

ขอบคุณมากครับ คุณ gon จะค่อยๆลองศึกษาดูครับ