ข้อสอบทุนคิงปีการศึกษา53 ออกแล้ว รบกวนช่วยกันเฉลยด้วยครับ
 

รบกวนช่วยกันเฉลยด้วยครับ :please:

Attachment 3779

ข้อแจกคะแนน :haha:

เขียนรูปได้ ก็ตอบแล้วครับ

เมือง A ห่างจากเมือง C 12 กิโลเมตร

(ทำได้ข้อเดียว) :haha:

Attachment 3780

ข้อ 2.2
$$x^5+x^4-x(x+1)=0$$
$x^4(x+1)-x(x+1)=0$
$x(x+1)(x^3-1)=0$
$x(x+1)(x-1)(x^2+x+1)=0$
$x=0,-1,1,\frac{-1\pm\sqrt{3}\ i}{2}$
$$x^5-4x^3-x^2+4=0$$
$x^2(x^3-1)-4(x^3-1)=0$
$(x^3-1)(x^2-4)=0$
$(x-1)(x^2+x+1)(x+2)(x-2)=0$
$x=1,-2,2,\frac{-1\pm\sqrt{3}\ i}{2}$
ดังนั้น $x=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}\ i}{2}$

ข้อ 3.1
$x^2=1+6\log_4y=1+3\log_2y$---------------(1) [y>0]
$y^2=2^xy+2^{2x+1}$
$y^2-2^xy-2^{2x+1}=0$
$(y+2^x)(y-2^{x+1})=0$
แต่ $y>0$ ดังนั้น $y=2^{x+1}$
แทนค่า y ใน (1)
$x^2=1+3x+3$
$x^2-3x-4=0$
$(x+1)(x-4)=0$
$\therefore x=-1,y=1$
$x=4,y=32$

ถูกข้อเดียวน่าเกลียด มาลองแงะอีกข้อ

Attachment 3781

$x^5+x^4-x(x+1) =0 $ .....(1)

$x^5-4x^3-x^2+4 = 0$ .....(2)

(1) + (2) $ \ \ 2x^5 +x^4 - 4x^3 -2x^2 -x +4 = 0$

ลองจับสัมประสิทธิ์บวกกันได้ 0

แสดงว่า (x-1) ต้องเป็นตัวประกอบของ สองสมการนั้น

$ = (x-1)(2x^4+3x^2-x^2-4) = 0$

$ = (x-1)(x^2+x+1)(2x^2+x-4 )= 0$


กรณี
$x-1 = 0 -----> x =1$

กรณี
$x^2+x+1= 0 -----> x = \frac{-1\pm \sqrt{-3} }{2} $

กรณี
$2x^2+x-4 = 0 -----> x = \frac{-1\pm \sqrt{33} }{4} $

$x \ $ มีทั้งหมด 5 จำนวนคือ $1, \ - \frac{1}{4}(\sqrt{33}+1 ), \ \frac{1}{4}(\sqrt{33} -1), \ -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{-3} ), \ -\frac{1}{2}(1 - \sqrt{-3} )$

(ยังไม่ได้ตรวจสอบคำตอบ)

ข้อ 4.2
$1+\log_{\sqrt{2}}2+\log_{\sqrt[3]{2}}2+...+\log_{\sqrt[n]{2}}2=n^2-15$
$1+2+3+...+n=n^2-15$
$\frac{n^2+n}{2}=n^2-15$
$n^2-n-30=0$
$(n-6)(n+5)=0$ และ n>0
$\therefore n=6$
$A=1+2+2^2+...+2^6=2^7-1=127$------------(1)
$B=\sum_{i=o}^{6}[!(i)]=!(0)+!(1)+!(2)+...+!(6)$
$=1+1+(2+1)+(3+2)+(4+3)+(5+4)+(6+5)=37$---------(2)
$\therefore A+B=164$

3.2 มามั่วต่อ
ให้ $2^x = A , A^4 - 2(A^3)-A^2-2A-2 \leqslant 0$
เอาเฉพาะคำตอบที่เป็นจำนวนจริง $(A-1+\sqrt{3}) (A-1-\sqrt{3} \leqslant 0) , x \in [log_21-\sqrt{3} , log_21+\sqrt{3}] $

3.2 ผมนั่งทำจนมาติดตรงใกล้เคียงกับน้องsiren
$2^{4x}-2^{3x+1}-2^{2x}-2^{x+1}-2 \leqslant 0$
$2^{4x}-1 \leqslant 2^{3x+1}+2^{2x}+2^{x+1}+1$
$(2^{2x}-1)(2^{2x}+1) \leqslant 2^{x+1}(2^{2x}+1)+2^{2x}+1$
$(2^{2x}-1)(2^{2x}+1) \leqslant (2^{x+1}+1)(2^{2x}+1)$
$(2^{2x}-1) \leqslant (2^{x+1}+1)$
$2^{2x}-2.2^x-2 \leqslant 0$
$1-\sqrt{3} \leqslant 2^x \leqslant 1+\sqrt{3} $ อีกค่าใช้ไม่ได้คือ$1-\sqrt{3} $ เพราะเป็นค่าลบ และ$ 2^x >0$
ผมติดคิดได้แค่นี้ไปต่อไม่ได้ เพราะลืมไปว่าตอบเป็นค่าlogแบบน้องsirenก็ได้

3.4 ผมหาได้แต่จุดตัด ยังหาเงื่อนไขให้$a>0$ยังไม่เจอ
$C_1$ $x^2+y^2+2ax+4ay-3a^2=0$...........(1)
$C_2$ $x^2+y^2-8ax-6ay+7a^2=0$...........(2)
(1)=(2) ; $10ax+10ay-10a^2=0$
$a(x+y-a)=0 \rightarrow a=0$ หรือ $x+y=a$
ถ้า$a=0$ สมการจะยุบลงเหลือแค่$x^2+y^2=0$...ซึ่งไม่ใช่สมการวงกลม
$x+y=a \rightarrow y=a-x$ นำไปแทนในสมการ
$C_1$ $x^2+y^2+2ax+4ay-3a^2=(x+a)^2+(y+2a)^2=8a^2$
$(x+a)^2+(3a-x)^2=8a^2$
$x^2-2ax+a^2=0$
$x=a,y=0$
จากการลองเอาค่า$x,y$ไปแทนอีกสมการ$C_2$ ได้ค่าที่สอดคล้องค่าเดียวคือ $x=a,y=0$

ลืมคิดไป ว่า log ติดลบไม่ได้

ข้อ 4.1 จาก$f(x)= x^{101}+x^{51}+x+1$....เราหา$f'(x)= 101x^{100}+51x^{50}+1$ แล้วหาค่า$x$ที่ทำให้$f'(x)=0$ จึงจะบอกได้ว่าฟังก์ชั่นนี้มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์
$101x^{100}+51x^{50}+1=0$
ให้$x^{50}=A$
$101A^2+51A+1=0$
$A=\frac{-51\pm\sqrt{51^2-4(101)} }{2} = \frac{-51\pm\sqrt{2197} }{2}$
เห็นชัดๆว่า$\sqrt{2197} < 50$ ดังนั้นค่า$A<0$ และ$A=x^{50}$ ซึ่งถ้า$x$เป็นจำนวนจริงแล้วเมื่อยกกำลังด้วยเลขคู่ ค่าที่ได้ต้องเป็นบวก ดังนั้นจึงไม่มีค่า$x$ที่เป็นจำนวนจริงที่ทำให้$f'(x)= 101x^{100}+51x^{50}+1=0$
จึงสรุปว่า$f(x)= x^{101}+x^{51}+x+1$ ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์
ไม่รู้ว่าจะให้เหตุผลถูกตามโจทย์ถามหรือเปล่า

ระวังแจกแต้ม 0 นะครับ ไม่ง่ายอย่างที่คิด

จากรูป ไม่ใช่ 15 หรอครับ ลุง banker :haha:

ไม่น่าจะถูกครับ โจทย์ข้อนี้เพียงใช้ประโยชน์ของอนุพันธ์มาอธิบายว่าสมการที่ให้เป็นฟังก์ชั่นเพิ่ม ก็เพียงพอที่จะบอกว่าฟังก์ชั่นพหุนามนี้ ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์

อย่าไป :haha::haha: ท่าน สว. เพราะ 15 ก็ไม่ใช่นะครับ :):)