LADM ช่วยหน่อยครับผมอยากรู้ว่าจาก (1)ไป(2)ได้ไง
$ a_2 x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + a_1 x\frac{dy}{dx} + a_0 y +F(y)=G(x) $ ....(1)
$ y(x_0)=\alpha _0 , y'(x_0)=\alpha _1 $ use a transformation $x=e^t$ to reduce the equation in (1) to a differential rquation with constant coefficients. So problem (1) turn into $ \frac{d^2 y}{dt^2} + b_1 x\frac{dy}{dt} + b_0 y +F(y)=G(t) $ .....(2) $ y(t_0)=\alpha _0 , y'(t_0)=\alpha _1 $ คืออยากรู้ว่า $a_2 x^2$ หายไปไหนแล้วก็ $a_1$ กลายเป็น $b_1$ ได้ไง |
$x=e^t$
$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt}$ $~~~~=e^t\dfrac{dy}{dx}$ $\dfrac{d^2y}{dt^2}=e^t\dfrac{d^2y}{dx^2}+e^t\dfrac{dy}{dx}$ ดังนั้น $\dfrac{dy}{dx}=e^{-t}\dfrac{dy}{dt}$ $\dfrac{d^2y}{dx^2}=e^{-t}\dfrac{d^2y}{dt^2}-e^{-t}\dfrac{dy}{dt}$ แทนสองตัวนี้ลงไปในสมการเดิมแล้วจัดรูป ลองดูครับ |
แทนแล้วจะได้
$a_2 e^t (\frac{d^2 y}{dt^2}+a_1 \frac{dy}{dt}) $ พจน์หน้าจัดไงต่อให้ได้(2)ครับ แล้วพจน์หลังนี่ แทน$a_1$เป็น$b_1$เลยใช่ไหมครับ |
คิดว่าคงเอา $a_2e^t$ หารตลอดครับ แต่ผมคิด $b_1$ ได้เป็นฟังก์ชันของ $t$ ครับ ใช้ได้หรือเปล่าครับ
|
ผมแทนแล้วได้
$\frac{d^2 y}{dt^2}+\frac{(a_1 -a_2)}{a_2}\frac{dy}{dt}+\frac{a_0}{a_2}y +\frac{F(y)}{a_2}=\frac{G(e^t)}{a_2} $ แทน $\frac{(a_1 -a_2)}{a_2}$เป็น $b_1$ แทน $\frac{a_0}{a_2}$เป็น$b_0$ ทำไม $\frac{F(y)}{a_2}$ กลายเป็น $F(y)$ ทำไม $\frac{G(e^t)}{a_2} $ กลายเป็น $G(t)$ ขอละเอียดหน่อยนะครับ งงจริงๆ ไม่ค่อยถนัดเรื่องนี้ |
อ้างอิง:
dx=e^t dt dt/dx=e^(-t) dy/dx=(dy/dt)(dt/dx) =e^(-t) dy/dt=x^(-1)dy/dt=u du/dt=e^(-t) (d^2/dt^2)y - e^(-t) (dy/dt) (d^2/dx^2)y = (d/dx)(dy/dx) =du/dx =(du/dt)(dt/dx) =[e^(-t) (d^2/dt^2)y - e^(-t) (dy/dt)]e^(-t) =e^(-2t) (d^2/dt^2)y - e^(-2t) (dy/dt) =x^(-2) [(d^2/dt^2)y - (dy/dt)] แบบนี้ครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:12 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha