เอกลักษณ์ตรีโกณที่น่าสนใจ
 

1). จงหาค่าของ $\arctan(\sin5^\circ+\sin10^\circ+\sin15^\circ+\cdots+\sin175^\circ)$

2). จงหาค่าของ $\arctan(\sin10^\circ+\sin20^\circ+\sin30^\circ+\cdots+\sin170^\circ)$

3). จงหาค่าของ $\arctan(\sin12^\circ+\sin24^\circ+\sin36^\circ+\cdots+\sin168^\circ)$

4). จงหาค่าของ $\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\cos k^\circ}{\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\sin k^\circ}-\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\sin k^\circ}{\displaystyle\sum_{k=1}^{44}\cos k^\circ}$

5). จงหาค่าของ $\tan18^\circ(\sin36^\circ+\sin72^\circ)$

6). จงหาค่าของ $\sin20^\circ+\sin40^\circ+\sin80^\circ-\dfrac{1}{2}\cot10^\circ$

7). จงหาค่าของ $\dfrac{\sin18^\circ+\sin36^\circ+\sin54^\circ+\sin72^\circ}{\cot9^\circ-1}$

ดูโจทย์ #1 แล้ว หลายๆข้อน่าจะเคยผ่านตากันมาบ้างแล้ว

เห็นแล้วรู้สึกว่า การใช้เพียงเอกลักษณ์ตรีโกณพื้นฐานคงทำได้ไม่ง่ายนัก

ขอเสนอเอกลักษณ์ ที่จะช่วยให้ทำโจทย์ด้านบนได้ง่ายกว่าที่เคย


ผมเริ่มเห็นโจทย์ลักษณะนี้ในการสอบมากขึ้น หวังว่าคงจะเป็นประโยชน์บ้างนะครับ

ปล. พิสูจน์เอกลักษณ์นี้ได้โดยจำนวนเชิงซ้อนนะครับ

รบกวนคุณ Amankris พิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ (อยากเห็นวิธีการพิสูจน์โดยใช้จำนวนเชิงซ้อนครับ):please::please:

ใช้เอกลักษณ์ของออยเลอร์ที่ว่า $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ ที่เหลือก็ใช้อนุกรมเรขาคณิตแก้นิดหน่อย

กด Like เลยครับ

ข้อสอบ PAT ชอบออกแนวนี้ด้วย

ขอบคุณมากครับมีประโยชน์มากเลย:yum::yum:

เอกลักษณ์ใน #2 มีอีกวิธีในการพิสูจน์ครับ
ลองเอาตัวเศษย้ายขึ้นไปคูณแล้วจัดรูปดีๆแล้วใช้ telescoping