Functional Equation !!!
 

1.จงหา $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ
$f(xf(x+y)) = f(yf(x)) + x^2$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$
2.จงหา $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ
$f(xy+f(x)) = xf(y)+f(x)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$
อาจจะมีมาให้ช่วยอีกนะครับ

ทำได้เเต่ข้อ 2) เเฮะ

สมมติว่า $f(x)=f(y)$ จากสมการเชิงฟังก์ชันของโจทย์ $f(xy+f(y))=f(xy+f(x))$ , $yf(x)+f(y)=xf(y)+f(x)$
จากที่สมมติไปว่า $f(x)=f(y)$ จะได้ $yf(x)=xf(y)$ เเละ เมื่อ $f(x)=f(y)\not = 0$ เเล้ว $x=y$
ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1

จากสมการเชิงฟังก์ชันโจทย์เเทนค่า $y=0$ จะได้ $f(f(x))=xf(0)+f(x)$ เเทนค่า $x=0$ ได้ $f(f(0))=f(0)$ ด้วยความเป็น 1-1 ได้ $f(0)=0$ เเทนค่ากลับคืนในสมการ $f(f(x))=xf(0)+f(x)=f(x)$ ได้ $f(f(x))=f(x)$ ด้วยความเป็น 1-1 อีกครั้ง ได้ $f(x)=x$ เป็นคำตอบ

ส่วนข้อ 1 ผมว่าได้ $f(x)=x$ เป็นคำตอบเหมือนกันครับ เเต่ขั้นตอนการพิสูจน์ยังไม่สมบูรณ์ ต้องรบกวนท่านอื่นเเล้วละครับ เเต่ถ้าคุณสุวิวัฒน์มีบทพิสูจน์ว่า $f$ เป็น Bijective ก็รบกวนโพสต์ให้ดูด้วยนะครับ