โจทย์ real analysis เบื้องต้นรบกวนด้วยครับ
 

เป็นโจทย์ในแบบฝึกหัดครับ ไม่ใช่การบ้านนะคับ เฉลยเองไม่ได้ คับแค้นใจนัก ขอความช่วยเหลือด้วยครับ ขอบคุณครับ

(1) Show that if f:A ฎ B is injective and E อ A, then f^-1(f(E)) = E.

(2) Suppose that f is an injection. Show that f^-1๐f(x) = x for all x ฮ D(f) and that f ๐ f^-1(y) = y for all y ฮ R(f).

ไม่เคยเรียนนะครับ มาลองมั่วดูบางส่วน ไม่รู้ว่าได้ไหม

ข้อ 2) เพราะว่า f เป็นฟังก์ชัน 1 - 1
ดังนั้นสำหรับทุก x ใน d_f จะมี y ใน R_f เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ y = f(x) และ f^-1(y) = x

แต่ \(f^{-1} o f (x) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(y) = x \)

อะไรแบบนี้ได้หรือเปล่า :rolleyes:

ขอบคุณมากครับคุณ gon น่าจะใช้ได้นะครับ ปัญหาเฉพาะหน้าของผมคือไม่เคยเรียนเลขเป็นทางการมาก่อน เวลาเขียนพิสูจน์ ประพจน์ต่อเนื่องที่ดูน่าจะพื้นๆผมจะไม่แน่ใจว่านี่ valid หรือเปล่า

ยังรอข้อ (1) จากทุกท่านนะครับ

แต่ถ้าผมถามอย่างเดียว อาจจะมีคนคิดว่าผมไม่ได้ทำการบ้านมาเลย ผมมั่วข้อ (1) แบบนี้นะครับ

ให้ f:AฎB เป็น bijection และ E อ A จะแสดงว่า f^-1(f(E)) อ E ให้ x ฮ f^-1(f(E)) ดังนั้น f(x) ฮ f(E) และ x ฮ E ดังนั้น f^-1(f(E)) อ E พอมาถึงตรงนี้ผมก็หยุดแล้วเพราะรู้ว่าผิดชัวร์ เช่น f(x) = x² ถ้าให้ E=[0,2] จะได้ว่า f(E) = [0,4] และ f^-1(f(E)) = [-2,2] จะเห็นว่าที่จริงแล้ว E อ f^-1(f(E)) ผมเลยแหยงขึ้นมาว่าเรามั่วแล้ว - -a

\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_0^+,\ x\mapsto{x^2}\) injective แต่ไม่ bijective ครับ นั่นคือ f จะไม่มีอินเวอร์สตามที่ยกตัวอย่างมา แต่หากกำหนด \(f:\mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+\) จะได้ f เป็น bijection ดังนั้น โจทย์ข้อสองตอนหลังจึง make sense เมื่อ f เป็น surjection ครับ

ข้อสองตอนแรกทำได้โดยการพิจารณา \(y\in{f(A)}\ และ\ y\in{}B\backslash{}f(A)\) ตามนิยามทีละกรณี ส่วนข้อแรกเป็นผลพลอยได้จากข้อสองครับ

สำหรับคนที่ไม่เคยเรียนมาก่อน เขียนพิสูจน์ได้ขนาดนี้ก็ถือว่าเยี่ยมแล้วครับ (อย่างน้อยก็ดีกว่าผมซึ่งตอนแรกเขียนไม่เป็นเอาเลยจริงๆ)

ถ้าให้ผมพิสูจน์ข้อ 1 ก็คงทำดังนี้

เนื่องจากเราต้องการพิสูจน์ว่า \(f^{-1}(f(E))=E\) เราก็แบ่งการพิสูจน์ออกเป็น 2 ส่วนคือ พิสูจน์ว่า \(E\subseteq f^{-1}(f(E))\) และพิสูจน์ว่า \(f^{-1}(f(E))\subseteq E\)

สำหรับข้อความ \(E\subseteq f^{-1}(f(E))\) นั้นเป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชันอยู่แล้ว ผมจึงขอข้ามการพิสูจน์ไป

ส่วนข้อความ \(f^{-1}(f(E))\subseteq E\) อันนี้ก็คงเป็นอันที่เราต้องใช้ความจริงที่ว่า f เป็น injection นั่นเอง สำหรับการพิสูจน์การเป็น subset ก็ทำตามหลักมาตรฐานคือใช้วิธีพิสูจน์ว่า\[x\in f^{-1}(f(E))\quad\Rightarrow\quad x\in E\]ซึ่งผมก็ทำคล้ายๆกับที่คุณ rigor ทำให้ดูนั่นแหละคือ จาก \(x\in f^{-1}(f(E))\) ดังนั้น \(f(x)\in f(E)\) แสดงว่าจะต้องมี \(y\in E\) ที่ทำให้ \(f(x)=f(y)\) แต่เรารู้ว่า \(f\) injective ดังนั้น \(x=y\) นั่นคือเราจะได้ว่า \(x\in E\) ตามต้องการครับผม

ป.ล. ผมว่าถ้ารามานุจันต้องโดนเขียนพิสูจน์อะไรแบบนี้ อาจไม่มีโอกาสแจ้งเกิดก็เป็นได้นะ :D

จะเข้ามาขอบทพิสูจน์ที่ formal หน่อยพอดี ขอบคุณทุกท่านสำหรับน้ำใจที่มอบให้