รากของสมการพหุนาม
 

ให้ $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี $n$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ และ $a,b$ เป็นจำนวนตรรกยะ ที่ $\sqrt{b}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแสดงว่า ถ้า $a+ \sqrt{b}$ เป็นรากของ p(x) แล้ว $a- \sqrt{b}$ จะเป็นรากของ $p(x)$ ด้วย
รบกวนช่วยพิสูจน์หน่อยนะคะ คิดไม่ออกเลยค่ะ :confused:

ลองดูวิธีผมก็แล้วกันนะครับ (มีที่ผิด)

พิสูจน์ : ให้ $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี $n$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ที่มี $a+\sqrt{b}$ เป็นรากของสมการ จะได้ว่า $p(a+\sqrt{b})=0$
ต่อไปสมมติว่า $a-\sqrt{b}$ ไม่เป็นรากของ $p(x)$ โดยทฤษฎีบทตัวประกอบจะได้ว่ามีพหุนาม $q(x)$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งไม่มี $a-\sqrt{b}$ เป็นรากและสามารถเขียน $p(x)$ ได้ในรูป
\[ p(x)=(x-(a+\sqrt{b}))q(x)\]
ถ้าเราคูณกระจายออกมาจะพบว่า $p(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนอตรรกยะ ซึ่งขัดแย้ง แสดงว่า $p(x)$ ต้องมี $a-\sqrt{b}$ เป็นราก รากหนึ่ง

ถ้าจะใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบ รากจะต้องเป็นจำนวนตรรกยะนะครับ
ในกรณีนี้รากเป็นจำนวนอตรรกยะเราจึงสรุปได้แค่ว่า $Q(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงครับ

โอ้ วิธีผมมีที่สรุปผิด ขอบคุณพี่ Noonuii ที่ชี้แนะครับ

:great:เป็นเทคนิคการพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมมากค่ะ แบบนี้คงเป็นการยากที่ข้าพเจ้าจะคิดเองได้
:kiki: ขอบคุณมากนะคะ

:please: ถ้าไม่เป้นการรบกวนมากขออีกซักข้อนะคะ
ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ที่ 3 หาร $n$ ไม่ลงตัว แล้ว $x^2+x+1 (x+1) | ^n-x^n-1$

ลองดูในกระทู้ที่ผมเคยตอบคุณ kanji ไปแล้วนะครับ.

Theory of Equations