ช่วยผมด้วยครับ
 

ถ้า$ \ \ p \ \ $เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p>2$ จงพิสูจน์ว่า

$$1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot \cdot \cdot (p-2)^2\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} (mod \ \ p)$$

ลองไปดูวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของวิลสันครับ

ขอบคุณครับ

ผมขออีกสักข้อนะครับ

Prove that, for any prime p, it is possible to find integers x and y such that $x^2+y^2+1$ is divisible by p.

กรณีที่ $p=2$ เราก็เลือก $x=0,y=1$

ต่อไป ถ้า $p$ เป็นจำนวนคี่
พิจารณาเซต
$\displaystyle A=\left\{0^2,1^2,\cdots,\left(\frac{p-1}{2}\right)^2\right\}$
$\displaystyle B=\left\{-0^2-1,-1^2-1,\cdots,-\left(\frac{p-1}{2}\right)^2-1\right\}$

จะได้ว่า $|A|+|B|=p+1$
แต่ว่าจากที่ C.R.S. mod p มีสมาชิก $p$ ตัว ดังนั้นจะได้ว่า ใน $A$ และ $B$ รวมกัน จะมีสมาชิก 2 ตัวที่คอนกรูเอนท์กัน mod p (ก็คือว่า มีเศษได้ p แบบ แต่มีตัวเลขรวมกัน p+1 ตัว จากหลักรังนกพิราบ ก็ต้องได้ว่ามีตัวเลขอย่างน้อย 2 ตัว ที่มีเศษเหมือนกัน)

แต่สังเกตว่าสมาชิกใน $A$ ด้วยกันเอง จะไม่คอนกรูเอนท์กัน mod p และในทำนองเดียวกัน สมาชิกใน $B$ ด้วยกันเอง จะไม่คอนกรูเอนท์กัน mod p

ดังนั้น มี $\displaystyle x,y\in\left\{0,1,\cdots,\frac{p-1}{2}\right\}$ ซึ่ง $x^2\equiv -y^2-1\pmod{p}$ นั่นคือ $x^2+y^2+1\equiv0\pmod{p}$ ตามต้องการ

อ๋อ ขอบคุณมากๆเลยครับ ไว้วันหลังจาถามอีก ^^

แล้วข้อนี้ทำอย่างไรหรอครับ

Prove that

$$3^{7^n}\equiv 2^{7^{n}}+1 \ \ (mod 7^{n+2})$$

ผมก็ไม่ได้ข้อนี้แต่ไปดูแล้วก็ยังคิดไม่ออกรบกวนด้วยคับ

จริงๆแล้วควรจะเป็น $1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot \cdot \cdot (p-2)^2\equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$ ครับ

จาก wilson's theorem

$(p-1)!\equiv -1\pmod{p}$

$1\cdot 3\cdot 5\cdots (p-2)\cdot 2\cdot 4\cdots (p-1)\equiv -1\pmod{p}$

ลองดูครับว่าจะเขียน $2$ ให้อยู่ในรูป $(-1)$ คูณกับตัวใดตัวหนึ่งในก้อนข้างหน้าได้ยังไง ใกล้จบแล้วล่ะ

ป.ล. เวลาเขียน $\pmod{p}$ เรามีคำสั่งเฉพาะครับ ลองใช้คำสั่ง \pmod{p}

ขอเฉลยได้ไหมครับผมเองดูแล้วก็คิดไม่ออกครับ

มีโจทย์มขอให้ช่วยอีกสองข้อครับ ช่วยหน่อย

1.ให้ $m,n\in \mathbb{N} $ จงพิสูจน์ว่าระบบคอนกรูเอนซ์
$x\equiv a \pmod{n}$
$x\equiv b \pmod{m}$
จะมีคำตอบ ก็ต่อเมื่อ $(n,m)\mid (a-b)$

ข้อนี้ขาไปทำได้แล้วครับ ช่วยขอกลับทีๆ

2. จงพิสูจน์ว่า $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ เป็นจำนวนประกอบ

ข้อนี้เหมือนหมู แต่เอาเข้าจริงสำหรับผมกลายเป็นหมูหินผสมซีเมน ซะงั้น


ช่วยแนะหน่อยครับ จะเข้าค่ายแล้วยังไม่ค่อยพร้อมเลย :sweat:

1. ให้ $y_0,z_0$ สอดคล้องสมการ $mz_0-ny_0=a-b$

ลองหาเหตุผลดูว่าทำไมถึงเลือก $y_0,z_0$ ได้

ให้ $x=a+ny_0$ จบแล้วล่ะ :)

#11

$N=5^{100}+5^{75}+5^{50}+5^{25}+1$ ไม่ใช่หรือครับ

#12

THX ครับ

#13 จริงด้วย คิดผิดเหอๆๆๆ เดี๋ยวลองใหม่แปปครับ เหอๆ

จริงๆแล้ว ข้อนี้น่าจะเป็นโจทย์พีชคณิต มากกว่า ทฤษฎีจำนวนนะครับ

Hint : $ x^4+x^3 +x^2+x+1 = (x^2+3x+1)^2 -5x(x+1)^2$

มีวิธีในการแยกตัวประกอบแบบ $x^4+x^3+x^2+x+1$ หรือเปล่าครับ หรือเราต้องจัดรูปไปเรื่อยๆ:confused: