ช่วยทำให้หน่อยครับ
 

จากที่นี่
จะพิสูจน์ว่า $\sec\frac{3\pi}{13}+8\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{3\pi}{13}=\sqrt{13}-1$

ผมจะเริ่มต้นที่

$ 13\theta=2n\pi $

$ \theta=0,\frac{2\pi}{13},\frac{4\pi}{13},\dots $

$ 7\theta = 2n\pi-6\theta $

$\sin\theta=\sin\frac{2\pi}{13},\sin\frac{4\pi}{13},\sin\frac{6\pi}{13},\dots$

$\sin7\theta=-\sin6\theta$

$\sin4\theta\cos3\theta+\cos4\theta\sin3\theta=-2\sin3\theta\cos3\theta$

$2\sin2\theta\cos2\theta(4\cos^3\theta-3\cos\theta)+(1-2\sin^22\theta)(3\sin\theta-4\sin^3\theta)=-2(3\sin\theta-4\sin^3\theta)(\cos\theta)(4\cos^2\theta-3)$

$4\sin\theta\cos^2\theta(1-2\sin^2\theta)(1-4\sin^2\theta)+(1-8\sin^2\theta\cos^2\theta)(3\sin\theta-4\sin^3\theta)=-2\cos\theta(3\sin\theta-4\sin^3\theta)(1-4\sin^2\theta)$

Let $x=\sin\theta$

$4x(1-x^2)(1-2x^2)(1-4x^2)+(1-8x^2+8x^4)(3x-4x^3)=-2\sqrt{1-x^2}(3x-4x^3)(1-4x^2)$

$-64x^7+80x^5+32x^4-32x^3-24x^2+7x=-2\sqrt{1-x^2}(16x^5-16x^3+3x)$

$4096x^{14}-10240x^{12}-4096x^{11}+10496x^{10}+8192x^9-4992x^8-5888x^7+608x^6+1984x^5-336x^3+49x^2=-1024x^{12}+3072x^{10}-3456x^8+1792x^6-420x^4+36x^2$

$4096x^{14}-9216x^{12}-4096x^{11}+7424x^{10}+8192x^9-8448x^8-5888x^7-1184x^6+1984x^5+548x^4-336x^3+13x^2=0$

divided by $x^2=0$

$4096x^{12}-9216x^{10}-4096x^{9}+7424x^8+8192x^7-8448x^6-5888x^5-1184x^4+1984x^3+548x^2-336x^1+13=0$

เนื่องจาก $x=\sin\theta$ เป็นคำตอบและจากทฤษฎีสมการจึงได้

$\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}\dots\sin\frac{24\pi}{13}=\frac{13}{4096}$

$\Big(\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}\dots\sin\frac{12\pi}{13}\Big)^2=\frac{13}{4096}$

$\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}\dots\sin\frac{12\pi}{13}=\frac{\sqrt{13}}{64}$

บรรทัดสุดท้าย ผลลัพธ์ถูกต้องแล้วครับ. ส่วนวิธีการจะจัดให้ได้อย่างที่ต้องการ ต้องสังเกตจากตัวอย่างที่ให้ไว้นะครับ ถ้าจะถามว่าจะจัดอย่างไร ก็ต้องลองจัดแบบที่ยกตัวอย่างให้ได้ก่อน เดี๋ยวเซนต์มันจะมาเองครับ ส่วนผมลืมไปแล้ว เพราะว่าทดไว้นมนานแล้วก็ไม่ได้พิมพ์ด้วย.:)

เอกลักษณ์ตรีโกณถ้าจะเขียนสวย ๆ มีเยอะครับ อย่าง

$\cos (3^2)^\circ + \cos (3^3)^\circ + \cos (3^4)^\circ + \cos (3^5)^\circ = \frac{\sqrt{10}}{2}$

อันนี้ก็พิสูจน์ไม่ยากว่าจริง แต่ถ้าจะถามว่ามาได้อย่างไร? อันนี้ก็อาจจะยากนิดนึง

หรือ $\sin (12\cdot 2)^\circ + \sin (12\cdot 2^2)^\circ + \sin (12\cdot 2^3)^\circ + \sin (12\cdot 2^4)^\circ = \frac{\sqrt{15}}{2}$

หรือ
$\cos (\frac{15 \cdot 2^3}{7})^\circ + \cos (\frac{15 \cdot 2^4}{7})^\circ + \cos (\frac{15 \cdot 2^5}{7})^\circ = \frac{\sqrt{21} + 1}{4} $

กับ
$\cos (\frac{12 \cdot 5}{7})^\circ + \cos (\frac{12 \cdot 5^2}{7})^\circ + \cos (\frac{12 \cdot 5^3}{7})^\circ = \frac{\sqrt{21} - 1}{4} $

ก็เท่ห์ไม่หยอกนะ :laugh:

คุณ gon นี่มีเอกลักษณ์ตรีโกณฯ แปลกๆ สวยๆ ที่ผมไม่เคยเห็นมาก่อนอยู่ในสต๊อกเยอะจริงๆครับ โดยเฉพาะอันแรกบอกได้คำเดียวว่า "สุดยอด" :great:

ผมพิสูจน์ได้แล้ว(หมดกระดาษไปหลายปอนด์เลย)

$\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{3\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}\sin\frac{5\pi}{13}\sin\frac{6\pi}{13}=\frac{\sqrt{1 3}}{64}$

$64\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{3\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}\sin\frac{5\pi}{13}\sin\frac{6\pi}{13}\cos\frac{3\ pi}{13}=\sqrt{13}\cos\frac{3\pi}{13}$

$32\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}\sin\frac{5\pi}{13}\sin^2\frac{6\pi}{13}$

$16\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}\sin\frac{5\pi}{13}(1+\cos\frac{\pi}{13})$

$8(2\sin\frac{\pi}{13}+\sin\frac{2\pi}{13})\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}\sin\frac{5\pi}{13}$

$4(4\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{2\pi}{13}+2\sin^2\frac{2\pi}{13})\sin\frac{4\pi}{13}\sin\frac{8\pi}{13}$

$4(2\cos\frac{\pi}{13}-2\cos\frac{3\pi}{13}+1-\cos\frac{4\pi}{13})\sin\frac{4\pi}{13}\sin\frac{8\pi}{13}$

$4(2\sin\frac{8\pi}{13}\cos\frac{8\pi}{13}-2\sin\frac{8\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}+\sin\frac{8\pi}{13}-\sin\frac{8\pi}{13}\cos\frac{4\pi}{13})\sin\frac{4\pi}{13}$

$2\sin\frac{4\pi}{13}(2\sin\frac{9\pi}{13}+2\sin\frac{7\pi}{13}-2\sin\frac{11\pi}{13}-2\sin\frac{5\pi}{13}+2\sin\frac{8\pi}{13}-\sin\frac{12\pi}{13}-\sin\frac{4\pi}{13})$

$2\sin\frac{4\pi}{13}(\sin\frac{4\pi}{13}+2\sin\frac{6\pi}{13}-2\sin\frac{2\pi}{13}-\sin\frac{12\pi}{13}$

$2\sin^2\frac{4\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}-4\sin\frac{4\pi}{13}\sin\frac{2\pi}{13}-2\sin\frac{12\pi}{13}\sin\frac{4\pi}{13}$

$1-\cos\frac{8\pi}{13}+2\cos\frac{2\pi}{13}-2\cos\frac{10\pi}{13}-2\cos\frac{2\pi}{13}+2\cos\frac{6\pi}{13}-\cos\frac{8\pi}{13}+\cos\frac{16\pi}{13}$

$1-2\cos\frac{8\pi}{13}+2\cos\frac{6\pi}{13}+2\cos\frac{3\pi}{13}-\cos\frac{3\pi}{13}$

$1+2\cos\frac{5\pi}{13}-2\cos\frac{7\pi}{13}+\cos\frac{3\pi}{13}$

$1+\cos\frac{3\pi}{13}+2(\cos\frac{5\pi}{13}-\cos\frac{7\pi}{13})$

$1+\cos\frac{3\pi}{13}+2(-2\sin\frac{6\pi}{13}\sin\frac{-\pi}{13})$

$1+\cos\frac{3\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}\sin\frac{\pi}{13}$

$1+\cos\frac{3\pi}{13}+8\sin\frac{3\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\sin\frac{\pi}{13}=\sqrt{13}\cos\frac{3\pi}{13}$

$\sec\frac{3\pi}{13}+1+8\sin\frac{3\pi}{13}\sin\frac{\pi}{13}=\sqrt{13}$

$\therefore \sec\frac{3\pi}{13}+8\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{3\pi}{13}=\sqrt{13}-1$

YeYe

ฮิ ๆ เหนื่อยใช่ไหมล่ะ ครับ. :great: ดีเลยครับ มีคำตอบแล้ว ลองต่อด้วย $\sqrt{17}$ ดูไหม ว่าใครจะหมดก่อนกัน (กระดาษหมด หรือ พลังหมดก่อน) สำหรับผมตอนนี้คงไม่ไหวแล้วครับ :rolleyes: เดี๋ยวไม่แน่อาจจะมีทำบรอดแบรนทีวีอีก :nooo:

กลับไปดู กระทู้เก่าๆเจอเอกลักษณ์ตรีโกณมากมายเลยครับ
$$\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{ k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$$

กลับมาดูอีกครั้ง

ทำไปได้ไงเนี่ย :wacko:

พี่เค้าเทพจริงๆครับ:great::great: