แยกตัวประกอบ
 

Prove that for any integer n > 1, $ n^{12} + 64 $ can be written as the product of four distinct positive integers greater than 1.

ลองคิด 2 แบบ แยกตัวประกอบได้เท่านี้ ช่วยคิดหน่อยนะคะ

1.

$ (n^3)^4 + 4\cdot 2^4 $

$ = (n^6 - 4n^3 + 8) (n^6 + 4n^3 + 8) $

2.

$ (n^4)^3 + (2^2)^3 $

$ = (n^4 + 4)( n^8 - 4n^4 + 16) $

$ = (n^2 - 2n + 2) (n^2 + 2n + 2)( n^8 - 4n^4 + 16) $

สีแดงสามารถแยกต่อให้มีสีน้ำเงินได้อีกครับ และจะได้เทอมกำลังสี่เพิ่มมาอีกสองเทอม

ถ้าไม่ทราบมาก่อนว่าสีนำ้เงินเป็นตัวประกอบ
จะมีวิธีการแยกตัวประกอบสีแดงอย่างไรคะ
ขอบคุณค่ะ

ถ้าให้ทำแบบไม่เดาสุ่มผมคงพยายามแยกออกมาเป็น

$n^6-4n^3+8=(n^2+an+b)(n^4+pn^3+qn^2+rn+s)$

แล้วเทียบสัมประสิทธิ์เอา การเดาตัวประกอบรูปแบบนี้เพราะได้ผ่านการวิเคราะห์มาแล้วครับว่า

ตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มของพหุนามนี้ที่เป็นกำลังหนึ่งไม่มี และกำลังสามก็ไม่มี

จึงควรจะมีกำลังสองกับกำลังสี่ และเหตุผลที่ว่าทำไมถึงควรจะแยกตัวประกอบได้อีกก็มาจากตัวโจทย์

ซึ่งชี้นำว่าเราจะต้องได้ตัวประกอบถึงสี่ตัวสำหรับ $n^{12}+64$

แต่ที่คุณทำมานี่ผมว่าน่าจะดีสุดแล้วนะครับ การแยกตัวประกอบสองแบบที่ได้ตัวประกอบต่างกัน

จะบอกเราว่าตัวประกอบทั้งหมดควรเป็นอะไร

ขอบคุณ คุณ nooonuii สำหรับความคิดเห็นที่เป็นประโยชน์นะคะ

การแยกตัวประกอบทั้ง 2 แบบ สุดท้ายจะได้ตัวประกอบเฉพาะ ชุดเดียวกัน

$n^2 - 2n + 2\;$ และ $\; n^2 + 2n + 2 \;$เป็นตัวประกอบเฉพาะ เพราะให้ค่า n ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม

$n^2 - 2n + 2\;$ และ $\; n^2 + 2n + 2\;$ จึงต้องเป็นตัวประกอบของ $\; n^6 - 4n^3 + 8\;$ และ $\; n^6 + 4n^3 + 8 \;$ ในแบบที่ 1

โดยการหาร หรือจะใช้วิธีคาดเดาแล้วตรวจสอบ จะได้

$(n^6 - 4n^3 + 8) = (n^2 + 2n + 2)(n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 4n + 4)$

$(n^6 + 4n^3 + 8) = (n^2 - 2n + 2)(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 4n + 4)$

$n^{12} + 64 = (n^2 + 2n + 2)(n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 4n + 4)(n^2 - 2n + 2)(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 4n + 4)$

จาก n > 1,

$n^2 + 2n + 2 \;$และ $\; n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 4n + 4\;$ มีค่ามากกว่า 1

$n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1 \geq 2$

$n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 4n + 4 = n(n-2)(n^2 + 2) + 4 \geq 4$

ดังนั้น ตัวประกอบทุกตัวมีค่ามากกว่า 1

ถูกไหมนะ :)