PAT1 ร้อนๆคร้าบ! ทำไม่ได้ T_T"
 

วันนี้ผมไปสอบมา ทำได้ประมาณครึ่งหนึ่ง -_-''
ขอถามข้อยากๆเท่าที่จำได้หน่อยนะครับ(ไม่ได้เรียงตามเลขข้อจริง)
ใครไปสอบมาแล้วจำได้ก็โพสต์หน่อยนะครับ อิอิ

บางข้อผมเปลี่ยนคำถามโจทย์เพราะจำตัวเลือกไม่ได้นะครับ


1. จงหาค่า $x$ จากสมการ $log_{\sqrt{2}}(4 - x) = log_{2}(9 - 4x) + 1$


2. กำหนดให้ $a,b,c > 1$
ถ้า $log_{a}d = 30$, $log_{b}d = 50$ และ $log_{abc}d = 15$
แล้ว $log_{c}d$ มีค่าเท่าไร


3. กำหนดให้
$S =$ { $(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 17$ }
$A =$ { $(x,y) | x^{2} - y^{2} = 1$ }
$B =$ { $(x,y) | y^{2} - x^{2} = 1$ }
ถ้า $p = S\cap A$ และ $q = S\cap B$ แล้วระยะห่างระหว่าง $p$ กับ $q$ ที่น้อยที่สุดคือเท่าไร


4. กำหนด$E$ เป็นวงรีที่มีจุดโฟกัสอยู่บนวงกลม$C$ สมการ $x^{2} + y^{2} = 1$ ถ้าวงรี$E$ สัมผัสวงกลม$C$ ที่จุด$(0,1)$ จุดในข้อใดอยู่บนวงรี$E$
ก. $(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
ข. $(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$
ค. $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
ง. $(\frac{2}{3},\frac{4}{3})$


5. กำหนด $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ เป็นเวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วย ถ้าเวกเตอร์ $3\overline{u} - \overline{v}$ และ $\overline{u} - 3\overline{v}$ ตั้งฉากกัน แล้ว $5\overline{u} - \overline{v}$ เท่ากับเท่าไร


6. ถ้า $|z_{1} + z_{2}| = 3$ และ $z_{1}\cdot\overline{z_{2}} = 3 + 4i$ แล้วค่าของ $|z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2}$ เท่ากับเท่าไร


7. ถ้า $z^{4} + 1 = 0$ แล้ว $|z + \frac{1}{z}|^{2}$ เท่ากับเท่าไร


8. กำหนดเส้นตรง $l_{1}$ และ $l_{2}$ สัมผัสวงกลมที่มีสมการว่า $(x - 5)^{2} + y^{2} = 20$ ที่จุด $P$ และ $Q$ ตามลำดับ ถ้าเส้นตรงที่ลากจากจุด $P$ ไปยัง $Q$ ผ่านจุดศูนย์กลาง และสมการเส้นตรง $l_{1}$ มีสมการว่า $x - 2y + 5 = 0$ แล้วสมการ $l_{2}$ คืออะไร


9. ถ้า $f:${$1,2,3,...,n$}$\rightarrow ${$1,2,3,...,n$} เป็นฟังก์ชัน$1-1$และทั่วถึง
โดยสอดคล้องกับเงื่อนไข

$f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = f(1)f(2)f(3)...f(n)$

แล้ว $f(1) - f(n)$ มีค่ามากที่สุดเท่าไร


10. ค่าของ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{k}}{1 + 8 + 27 + ... + n^{3}}$ เท่ากับเท่าไร




ผิดพลาดตรงไหนบอกด้วยนะครับ
ขอบคุณครับ :happy:

โจทย์ คน 5 คน วิ่งแข่งกันมี ก ข ค ง จ วิ่งแข่ง 6 ครั้ง

มีเงื่อนไขดังนี้

1. ก ได้ที่ 1 หรือที่ 5 เท่านั้น
2. จ ได้ที่ 1 หรือที่ 5 เท่านั้น
3. ข จะวิ่งเข้าเส้นชัยก่อน ค เสมอ

คำถาม 11. ถ้า ค ได้ที่ 3 แล้ว ข จะได้ทีเท่าไหร่

คำถาม 12. (จากข้อที่ 1) ถ้า ค ได้ที่ 2 แค่ 2 ครั้ง ถามว่า ข จะได้คะแนนน้อยที่สุดเท่าไร
กำหนดให้ ที่ 1 ได้ 10 คะแนน
ที่ 2 ได้ 8 คะแนน
ที่ 3 ได้ 6 คะแนน
ที่ 4 ได้ 4 คะแนน
ที่ 5 ได้ 2 คะแนน


13. มีขนม 3 ชนิด มีช็อคโกแลต 5 ชิ้น สตอร์เบอร์รี่ชีสเค้ก 4 ชิ้น ขนมปังทาเนยและขนมปังแยมโลวอย่างละ 2 ชิ้น ถ้าหยิบมา 3 ชิ้น โอกาสที่จะได้ขนมไม่ซ้ำกันเท่ากับเท่าไหร่

14. มีถุงเท้าสีขาว 4 คู่ สีแดง 3 คู่ สีน้ำเงิน 2 คู่ หยิบมา 2 ข้าง โอกาสที่จะได้สีเดียวกันเป็นเท่าใด

15. มีสามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB ยาว 3 มีด้าน AC ยาว 4 ถ้า ถ้าลาเส้น AD แบ่งครึ่ง BC ให้เท่ากัน โดยที่ AD ยาว 5/2 อยากทราบว่า BC ยาวเท่าใด

ข้อนี้ผมตอบ 75 นะครับ (ตัวเลือกที่หนึ่ง)

วิธีคิด มั่วมากๆ - -* แต่ออกมา 75 แฮะ

ขอเพิ่มรายละเอียดของ คุณ fOrgetfuL`s ข้อ 10 นะครับ

ต้องกำหนดว่า มีค่าเป็นจำนวนจริงบวก ด้วยครับ

ข้อนี้ผมมั่วมากเลยอ่ะ
จากสมการที่เค้ากำหนดมาให้ผมจะได้

$ \frac{n(n+1)}{2}=n!$
$\frac{(n+1)}{2}=(n-1)!$

ผมรู้ว่า n เป็นเลขคี่แน่ๆ ลองแทน 1 ก็ได้ 3 ก็ได้ หลังจากนั้นไม่ได้ 55+
ก็เลยคิดว่า 3 เนี่ยแหละ คือ n มากสุด -*-
พอได้ว่า n มากสุดเป็น 3 ก็เลยตอบว่าค่ามากสุดเป็น 2 (เพราะเรนจ์ฟังชั่นนี้มันสูงได้แค่ 3 )

ผิดถูกยังไงช่วยบอกด้วยนะครับ

ข้อ 1. ผมได้ $x=\pm \sqrt{2} $ ไม่รู้ถูกรึเปล่านะฮะ
ข้อ 2. ผมได้ 75 เช่นกัน

ตอนนี้อยากได้ แนวคิดข้อ 3 กับ 10 มากเลย :please:

เพิ่มโจทย์ให้นะครับ


$ f(1)=g(1)=h(1)=1 และ f^'(1)=g^'(1)=h^'(1)=2 แล้ว (fg+h)^'(1)=?$


ถ้าจำโจทย์ผิดขอโทษด้วยนะครับ

f(1)=g(1)=h(1)=1 และ f^'(1)=g^'(1)=h^'(1)=2 แล้ว (fg+h)^'(1)=?
ที่ผมคิดคือว่า (fg+h)^'(1) =fg^'(1)+h^'(1)
=f(1)g^'(1)+g(1)f^'(1)+h^'(1)

ต่อจากนั้นแทนค่าที่โจทย์กำหนด ก้อจะได้ว่า
=(1)(2)+(1)(2)+(2)
= 6
ผมว่าน่าจะทำแบบนี้นะ ตอนที่ผมทำก้อแบบนี้แหละ

ข้อ3ต้องวาดรูปดูว่าแล้วหาจนตัดของพาราโบลากับวงกลม
โจทย์บอกว่าหาค่าความยาวที่สั้นที่สุด มันจะได้อยุ่หลายจุด
ในที่นี้เราพิจารณา(3,2\sqrt{2} )กับ(2\sqrt{2} ,3) เราก้อใส่สูตรหาระยะห่างตามปกติ
ก้อจะได้ความยาวคือ 3\sqrt{2} -4

ถูกแล้วครับ แต่ถ้าจะให้สมบูรณ์ก็ต้องพิสูจน์ว่า

ถ้า $n>3$ แล้ว $\dfrac{n+1}{2}<(n-1)!$

ผมมองว่า

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^{k}}{1 + 8 + 27 + ... + n^{3}}=A$

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^k}{(\frac{n(n+1)}{2})^2} = A$

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^k}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}} = A$

$\lim_{n \to \infty} \frac{8n^k}{n^2(n^2+2n+1)}= A$

$\lim_{n \to \infty} \frac{8n^k}{n^4+2n^3+n^2}= A$

เพราะ A เป็นจำนวนจริงบวกที่หาค่าได้ $\therefore k=4$

$\lim_{n \to \infty} \frac{8n^4}{n^4} = A$

$\lim_{n \to \infty} \frac{8}{1} = A$

$A = 8$

ผิดถูกยังไง ชี้แนะด้วยครับ


เพิ่มโจทย์

กำหนด $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^4-n^2} = A$ จงหาค่าของ $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
ก.$\frac{3}{4} - A$
ข.$\frac{3}{4} + A$
ค.$\frac{1}{2} - A$
ง.$\frac{1}{2} + A$

ข้อสุดท้ายนี่สวยดีครับ
ตอบข้อ ก. 3/4 - A

พรุ่งนี้มีสอบอีกไหมครับ(ผมไม่รู้ครับ) ถ้ามีแล้วใครมาสอบที่พระจอมเกล้าลาดกระบังสามารถแวะมาทักทายผมได้ที่คณะวิศว ตึกโทรคม(ตึกสีน้ำเงิน) ห้อง T307 นะครับ เจ้าถิ่นยินดีต้อนรับ อ่อผมชื่อพรนะครับ อิอิ

9. ถ้า f:{1,2,3,...,n}→{1,2,3,...,n} เป็นฟังก์ชัน1−1และทั่วถึง
โดยสอดคล้องกับเงื่อนไข

f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=f(1)f(2)f(3)...f(n)แล้ว f(1)−f(n) มีค่ามากที่สุดเท่าไร


ข้อนี้ ก็ไม่รุ้ว่าจริงๆทำไงนะแต่ว่า เราทำงี้อะ 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3
แล้วเค้าถามค่ามากสุดเลยเอา 3-1 = 2 อะ ไม่รุ้ถูกป่าว

1.ได้$\pm \sqrt{2}$ ครับ

3. กำหนดให้
$S =$ { $(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 17$ }
$A =$ { $(x,y) | x^{2} - y^{2} = 1$ }
$B =$ { $(x,y) | y^{2} - x^{2} = 1$ }
ถ้า $p = S\cap A$ และ $q = S\cap B$ แล้วระยะห่างระหว่าง $p$ กับ $q$ ที่น้อยที่สุดคือเท่าไร
...
ช่วยตรวจสอบวิธีผมด้วยนะครับ...ผมให้
$(x_1,y_1)$ เป็นจุดใน A
$(x_2,y_2)$ เป็นจุดใน B
ที่ทำให้ ระยะห่าง p q มีค่าน้อยที่สุด
เราได้ว่า ระยะห่างมีค่าเท่ากับ $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
แล้วจากเงื่อนไขเราได้ว่า
$y_1=\sqrt{x_1^2-1}$
$y_2=\sqrt{x_2^2+1}$
นั้นคือระยะห่างของเรามีค่าคือ $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(-\sqrt{x_1^2-1}+\sqrt{x_2^2+1})^2}$
จาก$ \sqrt{a^2+b^2}\geq \sqrt{\frac{(a+b)^2}{2}}$
เราได้ว่า
***ระยะห่าง$=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(-\sqrt{x_1^2-1}+\sqrt{x_2^2+1})^2}\geq \sqrt{\frac{(x_1-x+2+\sqrt{x_2^2+1}-\sqrt{x_1^2-1})^2}{2}}=\sqrt{\frac{x_1-\sqrt{x_1^2-1}+\sqrt{x_2^2+1}-x_2}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{x_1+\sqrt{x_1^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2^2+1}+x_2}}{2}}$
จาก $x^2+y^2\leq 17$
เราได้ว่า
$x_1\leq 3$
$x_2\leq 2\sqrt{2}$
แล้วดูก้อน
$\frac{1}{x_1+\sqrt{x_1^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2^2+1}+x_2}$
ส่วนตัวคิดว่าทุกคนคงรู้แล้วว่าจะทำอะไรต่อไปให้ได้ min
จบ ตอบ $3\sqrt{2}-4$
:wacko:

กำหนด$ \sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{n^4-n^2} )= A$ จงหาค่าของ $\sum_{n = 2}^{\infty} ( \frac{1}{n^2}) $
$ก.\frac{3}{4} −A $
$ข.\frac{3}{4}+A$
$ค.\frac{1}{2}−A $
$ง.\frac{1}{2}+A$

โจทย์สวยเจงๆ ขอลองทำหน่อย

จาก $\frac{1}{n^4-n^2} = \frac{1}{n^2 (n^2-1)} = \frac{1}{n^2 -1} - \frac{1}{n^2}$

ดังนั้น $ \sum_{n = 2}^{\infty}( \frac{1}{n^4-n^2}) = \sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{n^2 -1} - \frac{1}{n^2})$

$A = \sum_{n = 2}^{\infty}( \frac{1}{n^2 -1}) - \sum_{n = 2}^{\infty}(\frac{1}{n^2})$

$\therefore \sum_{n = 2}^{\infty}(\frac{1}{n^2}) = \sum_{n = 2}^{\infty}( \frac{1}{n^2 -1}) - A$


พิจารณา $\sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{n^2 -1})$

$\sum_{n = 2}^{\infty}( \frac{1}{n^2 -1})$ = $\sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{2}[\frac{1}{n -1} - \frac{1}{n +1} ])$

$= \frac{1}{2}[(\frac{1}{1} -\not\frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} -\not\frac{1}{4}) + (\not\frac{1}{3} -\not\frac{1}{5}) + ... ]) $

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{1} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$


$\therefore \sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{n^2}) = \frac{3}{4} - A $ :great:

ผมแนบรูปข้อ3.มาให้ดูครับ
ลองนำไปศึกษาครับ