ระดับโอลิมปิก

1. จงพิสูจน์โดยไม่ใช้สมภาคว่า ไม่มีจำนวนเต็ม $a,b,c$ ซึ่งสอดคล้องกับ $a^2+b^2-8c = 6$


2. ให้ $p=2^n+1$ เเละ $3^{(p-1)/2}+1\equiv 0 \pmod p$ จงเเสดงว่า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ


3. ถ้า $p,p^2+2$ ต่างก็เป็นจำนวนเฉพาะ มีจำนวนนับกี่จำนวนที่หาร $p^5+2p^2$ ลงตัว


4. ให้ $a,b,c$ เเทนความยาวด้านของสามเหลี่ยมใดๆ
จงเเสดงว่า $$\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge \sqrt{3}$$


5. ให้ $a,b,c>0$ เเละ $a+b+c+abc=4$
จงเเสดงว่า $$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b+c)$$


6. ให้ $a,b,c>0$ เเละ $abc=1$
จงเเสดงว่า $$\frac{a}{b^2(c+a)(a+b)}+\frac{b}{c^2(a+b)(b+c)}+\frac{c}{a^2(c+a)(a+b)}\ge \frac{3}{4}$$


7. ฟังก์ชันเลขคณิต $\nu$ นิยามโดย
$$\nu (n) = \begin{cases}0, & n=1 \\ k, & n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\end{cases}$$
เมื่อ $n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ แทนการเขียนในรูปแบบบัญญัติ

จงแสดงว่า สำหรับจำนวนนับ $m,n$ ใดๆ,
$$\tau (n^m) = \sum_{d|n} m^{\nu (d)}$$


8. (6 คะแนน) สำหรับเมตริกซ์ $A=[a_{ij}]_{m \times m}$ และ $B=[b_{ij}]_{m \times m}$ ซึ่ง $A,B \in \mathbb{Z} ^{m \times m}$ ให้
$A \equiv B \pmod{n}$ ก็ต่อเมื่อ $a_{ij} \equiv b_{ij} \pmod{n}$ สำหรับทุก $i,j \in \{ 1,2,...,m \}$
นั่นคือ $A-B=nZ$ สำหรับบาง $Z \in \mathbb{Z}^{m \times m}$
(สัญลักษณ์ $A \in \mathbb{Z} ^{m \times m}$ หมายถึงสมาชิกทุกตัวใน $A$ เป็นจำนวนเต็ม)

จงแสดงว่า สำหรับ $A \in \mathbb{Z} ^{m \times m}$ จะมี $B \in \mathbb{Z} ^{m \times m}$ ซึ่ง $AB \equiv I \pmod{n}$ ก็ต่อเมื่อ $(\det (A),n)=1$ พร้อมทั้งหาค่าของ $B$ ในรูปของ $A$ เมื่อ $I$ แทนเมตริกซ์เอกลักษณ์มิติ $m \times m$


9. (5 คะแนน) สำหรับ $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ ซึ่ง $a^2+b^2+c^2=1$
จงหาค่าต่ำสุดของ
$$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca}$$


10. ตารางขนาด $8 \times 8$ บรรจุเลข $1,2,...,8$ ลงไปจำนวนละเท่าไหร่ก็ได้
โดยมีเงื่อนไขว่า สองจำนวนที่ติดกันในแนวตั้ง, แนวนอน, แนวทแยง เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน

พิสูจน์ว่ามีตัวเลขบางตัวปรากฎในตารางอย่างน้อย 12 ครั้ง


11. (4 คะแนน) กำหนดลำดับของจำนวนเฉพาะบวก $p_1,p_2,p_3,...$
ให้เซต $A$ คือเซตอนันต์ของจำนวนเต็มบวกที่สมาชิกแต่ละตัวมี prime divisor ไม่เกิน $p_n$ แล้ว
จะต้องเลือกสมาชิกจากเซต $A$ อย่างน้อยเท่าใด จึงจะมั่นใจว่าจะมี 2 จำนวนซึ่งผลคูณเป็นกำลังสองสมบูรณ์


12. (6 คะแนน) กำหนดจำนวนนับ $n>2$ ให้เซต $\{ a_1,a_2,...,a_{\phi (n)} \} \subset \mathbb{Z}$ คือเซต Reduced Residue System (RRS) ของมอดุโล $n$ (หรือก็คือ เซตของจำนวนเต็ม $k$ โดยที่ $(k,n)=1$ และไม่มีคู่ใดคอนกรูเอนซ์กันในมอดุโล $n$)

ถ้าเขียน

$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{\phi (n)}}=\frac{a}{b}$$

โดยที่ $a,b \in \mathbb{N}$ และ $(a,b)=1$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $n|a$


13. (4 คะแนน) กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้ซึ่ง
$$f(\sqrt{xy})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$$
ทุกจำนวนจริงบวก $x,y$ จงพิสูจน์ว่ามีบางจำนวนจริงบวก $a$ ซึ่ง $f(a)<0$


14. (6 คะแนน) สำหรับจำนวนจริง $a,b,c>0$ ซึ่ง $bc-ca-ab=1$ จงหาค่าสูงสุดของ
$$P=\frac{4024}{1+a^2}-\frac{4024}{1+b^2}-\frac{2555}{1+c^2}$$
พร้อมทั้งหาว่าเกิดเมื่อใด

ระดับมัธยมปลาย

1. (5 คะแนน) หารากจริงบวกจากสมการ $x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor =2012$


2. นำเชือกยาว $L$ มาตัดเป็น 2 ส่วน ส่วนที่หนึ่งนำมาตัดเป็นรูปครึ่งวงกลม ส่วนที่ 2 นำมาขดเป็นรูปครึ่งของครึ่งวงกลม ถ้า พื้นที่วงกลมทั้งสองรูปรวมกันมีค่าน้อยที่สุด แล้วเชือกส่วนที่หนึ่งขาวเท่าใด กำหนด $\pi =3$


3. (5 คะแนน) กำหนดเซต $A=\left\{\,\right. 2012, 2013, 2014,...,2555\left.\,\right\} $
และ $\emptyset \ne B\subseteq A$ นำสมาชิกใน $B$ มาเรียงค่าจากมากไปหาน้อย แล้วใส่เครื่องหมาย $+,-,+,-$ สลับไปทีละสมาชิกจนครบทุกสมาชิกในสับเซต แล้วเรียกผลบวกสลับเครื่องหมายของสมาชิกในสับเซตนั้นว่า $S(B)$
เช่น $B_1=\left\{\,\right. 2012,2013,2014\left.\,\right\} $
จะได้ $S(B_1)=2014-2013+2012$
ถ้าผลบวกของ $S(B)$ ที่เกิดจากสับเซต $B$ ที่ไม่ใช่เซตว่างทั้งหมดใน A มีค่าเป็น $c\cdot 2^x$
จงหาค่าของ $c+x$

4. ถ้าทราบว่าสมการ $x^3-(5+i)x^2+(9+4i)x+k(1+i)=0$ มีคำตอบหนึ่งเป็น $1+i$
จงหาค่า $k$


5. (4 คะแนน) กำหนดให้ลำดับชุดหนึ่งมีความสัมพันธ์เป็น
$$a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-3}$$
ถ้า $a_{333}+a_{666}+a_{999}=2555$
และ $a_{2554}=2012$
จงหาค่าของ $a_{2012}$


6. (5 คะแนน) จงหาค่าที่มากที่สุดของฟังก์ชัน
$$f(x,y)=\sqrt{(x-45)^2+(y-23)^2}+\sqrt{(x-23)^2+(y-45)^2} $$
โดยที่ $x^2+y^2=1$


7. (5 คะแนน) กำหนดให้ $f_1(x)=\dfrac{10}{11}-\dfrac{121}{11x+1} $
และ $f_n(x)=f_1(f_{n-1}(x))$ สำหรับทุกๆ $n\geqslant 2$
ถ้ามีค่า $x$ ที่ทำให้ $f_{2555}(x)=x-3$ สามารถเขียนให้อยู่ในรูป $\frac{m}{n} $
โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ต่อกันแล้ว
จงหาค่าของ $mn$

ระดับมัธยมต้น

1. (2 คะแนน) ให้ $ a,b,c $ เป็นจำนวนจริงที่ $ c> b> a > 0 $ ถ้า
$\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{2} , \dfrac{c}{b} - \dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{2} $
จงหาค่าของ
$( \dfrac{12c}{a} + 8 )^2 + (\dfrac{12a}{b} - 3 )^2 + 19 $


2. (2 คะแนน) ให้ $ a_1,\dots,a_{26}$ เป็นจำนวนจริง และ $A = a_1 + a_2 +\dots +a_{26} $ ถ้า
$ \dfrac{A - a_i}{a_i} = 2^i - 1 $ สำหรับ $i=1,2\dots,25$
จงหา $ \dfrac{A }{a_{26}}$


3. จงหาชุดของจำนวนจริง $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$$x+y+z = 6,\qquad x^2+y^2+z^2 = 14,\qquad xz+yz = (xy+1)^2$$


4. (3 คะแนน) จงหาจำนวนจริงบวกทั้งหมด (ถ้ามี) ที่สอดคล้องกับ
$$x^3+y^3+z^3 =x+y+z,\qquad x^2+y^2+z^2 = xyz$$


5. กำหนดให้ $A , B , C$ และ $D$ เป็น จำนวนเต็มบวก ซึ่ง $A^3=B^4$ และ $C^3=D^2$ โดยที่ $C-A=200$
จงหาค่าของ $\sqrt[3]{BD} $


6. กำหนดให้
$$x^2+y^2=7,\qquad x^3+y^3=10.$$
จงหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x+y$


7. (3 คะแนน) กำหนดให้
$$
\frac{x}{668}+\frac{y}{669}+\frac{z}{670}=
\frac{x}{670}+\frac{y}{671}+\frac{z}{672}=
\frac{x}{674}+\frac{y}{675}+\frac{z}{676}=1$$
จงหาค่าของ $x+y+z-3$


8. จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้ $n^3+100$ หารด้วย $n+10$ ลงตัว


9. (4 คะแนน) จงหาค่าของ $90x+99y+999$ เมื่อ $x,y$ เป็นจำนวนนับที่สอดคล้องกับสมการ $$y^2+15x^2y^2=8145x^2+2556$$


10. จงหาค่าของ $$(\sqrt{42} +\sqrt{43} +\sqrt{44})( \sqrt{42} -\sqrt{43} +\sqrt{44})( \sqrt{42} +\sqrt{43} -\sqrt{44})( -\sqrt{42} +\sqrt{43} +\sqrt{44})$$


11. กล่องใบหนึ่งมีจุดยอดเป็น ABCDEFGH ดังรูป


วัดระยะทางจากจุด A ไปยังจุด F ได้ 65 หน่วย

ระยะทางที่สั้นที่สุดจากส่วนของเส้นตรง AF ไปยังจุด B คือ $\dfrac{42\sqrt{116}}{65}$ หน่วย

ระยะทางที่สั้นที่สุดจากส่วนของเส้นตรง AF ไปยังจุด G คือ $\dfrac{24\sqrt{3649}}{65}$ หน่วย

ระยะทางที่สั้นที่สุดจากส่วนของเส้นตรง AF ไปยังจุด C คือ $\dfrac{300}{13}$ หน่วย

จงหาปริมาตรของกล่อง


12. (3 คะแนน) จำนวนนับสองจำนวน มีผลหารจากการหารค.ร.น.ด้วยห.ร.ม.เป็น 9950 และผลบวกของสองจำนวนนั้นมีค่า 7221 จงหาผลต่างของสองจำนวนนั้น


13. (3 คะแนน) เมื่อเขียนจำนวน 300! ในระบบเลขฐานสิบเอ็ดจะมี 0 ลงท้ายกี่ตัว


14. (4 คะแนน) ให้ $AB$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางบนวงกลม $O$ ต่อเส้นตรง $AB$ จากจุด $B$ ไปยังภายนอกวงกลมไปถึงจุด $C$
โดยที่ระยะ $BC$ เป็น 74 หน่วย
แล้วลากเส้นจากจุด $C$ ไปกับสัมผัสกับวงกลมที่จุด $D$ ต่อ $CD$ จากจุด $D$ ไปถึงจุด $F$ ทำให้ $AF,DF$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลม ถ้าความยาวของ $AF$ เป็น 2220 หน่วยแล้ว จงหารัศมีของวงกลม $O$


15. (4 คะแนน) กำหนดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD มีความยาวแต่ละด้าน 12 หน่วย มีจุด P อยู่บนแนวเส้นทแยงมุม AC โดย AP ยาวกว่า CP
ลาก PB,PD
จากนั้นวาดวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABP และสามเหลี่ยม CDP
กำหนดให้จุดศูนย์กลางของวงกลมเป็น $O_1$ และ $O_2$ ตามลำดับ
วัดมุม $O_1PO_2$ ได้ 150 องศา ถ้าความยาวด้าน AP เขียนได้ในรูป $a \sqrt{b} +c\sqrt{d} $
เมื่อ $a,b,c$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $b>d>a>c$
จงหาค่าของ $11a+22b+33c+44d$


16. (4 คะแนน) สี่เหลี่ยมนูน ABCD มีเส้นทแยงมุม AC, BD ตัดตั้งฉากกันที่ X
ถ้าเส้นที่ลากจาก X ไปตั้งฉากด้าน AB, BC, CD ยาว $\sqrt{5},\, \sqrt{73},\, \sqrt{7}$ ตามลำดับแล้ว
จงหาความยาวเส้นที่ลากจาก X ไปตั้งฉากด้าน DA


17. กำหนด P(x) เป็นพหุนามดีกรีสาม ซึ่ง $P(x)=\frac{1}{x}$ สำหรับ $x=1,2,3,4$ จงหาค่าของ $P(5)$


18. (4 คะแนน) กำหนดจำนวนจริงบวก $a<b<c$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมที่มีอัตราส่วนมุมภายในเป็น 2:3:4
ถ้า $\dfrac{c^2}{a+b}=29$ แล้ว $c^2-ab$ มีค่าเท่าไร


19. (4 คะแนน) สี่เหลี่ยม ABCD มี AB ยาว 13 หน่วย , BC ยาว 45 หน่วย และ CD ยาว 52 หน่วย และ มุมBAD= มุมADC ถ้ามีครึ่งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บน AD และสัมผัสกับด้านที่เหลือทั้งสาม สี่เหลี่ยม ABCD มีพื้นที่เท่าไร


20. (4 คะแนน) จากภาพ สี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD มีพื้นที่ 29 ตารางหน่วย
CE เป็นเส้นสัมผัสครึ่งวงกลม F ตัดครึ่งวงกลม G ที่ H และ DH ตัดครึ่งวงกลม F ที่ I
จงหาอัตราส่วนความยาว DI ต่อ IH

ระดับประถมปลาย

1. (3 คะแนน) จงหาผลรวมของจำนวนนับ ที่มีสมบัติว่า เมื่อบวกด้วย 4242 หรือลบด้วย 2424 ก็จะได้ผลลัพธ์ที่เป็นพหุคูณของจำนวนนั้นเอง


2. (3 คะแนน) ตั้งนาฬิกาสามเรือนให้ตั้งปลุกทุก 24 ,44 และ 42 นาที หลังจากที่นาฬิกาทั้งสามปลุกในเวลาเดียวกันเป็นครั้งที่สาม จะได้ว่ามีการปลุกในช่วงเวลาที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่ครั้ง


3. (4 คะแนน) นักมายากลบอกให้ผู้ร่วมแสดงนึกเลขสามหลัก ซึ่งเลขโดดแต่ละหลักแตกต่างกันไว้ในใจ
จากนั้นให้สลับหลักของเลขสามหลักนั้นมาสร้างเลขสามหลักอีก 5 จำนวน
เช่น ถ้าคิดเลข 123 ไว้ในใจให้สร้างเลขสามหลักอีก 5 จำนวนดังนี้
132; 213; 231; 312; 321
แล้วนำเลขทั้ง 5 จำนวนที่ได้มานั้นบวกกันได้ผลลัพธ์เป็น 1209 ก็บอกค่า 1209 นี้แก่นักมายากล
นักมายากลก็ทราบได้ว่าเลขที่ผู้ร่วมแสดงคิดในใจคือ 123
ถ้าสมมติว่าท่านเป็นนักมายากลแล้วผู้ร่วมแสดงบอกค่าผลรวมตัวเลข 5 จำนวนแก่ท่านว่าเป็น 3839
จงหาว่าผู้ร่วมแสดงคิดจำนวนสามหลักใดไว้ในใจ


4. (2 คะแนน) กำหนดการกระทำ $x\otimes y$ ถ้า $1 \otimes 2 \ = \ 5$ และ $3 \otimes 4 \ = \ 25$ ดังนั้นจงหาค่าของ $12 \otimes 34 $

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันแยกคูณไม่เป็นฟังก์ชันศูนย์แล้ว ฟังก์ชัน $F$ ซึ่งนิยามโดย
$$F(n)=\sum_{d|n} f(d)$$
ก็เป็นฟังก์ชันแยกคูณด้วย

พิสูจน์ : เนื่องจาก $f$ ไม่เป็นฟังก์ชันศูนย์ ดังนั้น $f(1)=1$ เสมอ และทำให้ $F(1)=1$

กำหนดจำนวนนับ $x,y>1$ โดยที่ $(x,y)=1$

ดังนั้น สำหรับจำนวนนับ $d$ ซึ่ง $d|xy$ จะมีคู่อับ $(d_1,d_2)$ เพียงคู่เดียวที่ $d=d_1d_2$ และ $d_1|x$ และ $d_2|y$ ซึ่ง $(d_1,d_2)=1$ เสมอ

แสดงว่า
$$F(xy) = \sum_{d_1d_2|n} f(d_1d_2)$$
$$F(xy) = \sum_{d_1|n, \, d_2|n} f(d_1)f(d_2)$$
$$F(xy) = \sum_{d_1|n} f(d_1) \sum_{d_2|n} f(d_2)$$
$$F(xy) = F(x)F(y)$$

ดังนั้น $F$ ก็เป็นฟังก์ชันแยกคูณ #

$\nu$ เป็นฟังก์ชันแยกบวก

พิสูจน์ : ให้ $x=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ และ $y=q_1^{b_1}q_2^{b_2} \cdots q_l^{b_l}$

แทนการเขียนในรูปแบบัญญัติของ $x,y$ โดยที่ $(x,y)=1$ (นั่นคือ $p_1,p_2,...,p_k,q_1,q_2,...q_l$ แตกต่างกันหมด)

แสงดว่า $\nu (xy) = k+l = \nu (x) + \nu (y)$

นั่นคือ $\nu$ เป็นฟังก์ชันแยกบวก #

ถ้า $A \equiv B \pmod{n}$ แล้ว $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$

พิสูจน์ : โดยนิยามของเมตริกซ์ไมเนอร์, ถ้า $A \equiv B \pmod{n}$ แล้ว

การตัดแถว,หลักที่ตำแหน่งเดียวกันของ $A,B$ ย่อมไม่มีผลต่อตำแหน่งอื่นของสมาชิกในเมตริกซ์ไมเนอร์

ดังนั้น $M_{ij} (A) \equiv M_{ij} (B) \pmod{n}$

ต่อไปจะพิสูจน์โดยการใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์


ให้ $P(k)$ คือข้อความ "สำหรับเมตริกซ์ $A,B$ มิติ $k \times k$ ใดๆ

ถ้า $A \equiv B \pmod{n}$ แล้ว $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$"


พิจารณาเมตริกซ์ $A,B$ มิติ $1 \times 1$ พบว่า

$\det (A)=a_{11} \equiv b_{11} = \det (B) \pmod{n}$

ดังนั้น $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$

พิจารณาเมตริกซ์มิติ $2 \times 2$ พบว่า

$\det (A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \equiv b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21} = \det (B) \pmod{n}$

ดังนั้น $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$

ดังนั้น $P(1),P(2)$ เป็นจริง


ต่อไปสมมติให้ $P(k)$ เป็นจริง จะแสดงว่า $P(k+1)$ ก็เป็นจริง

กำหนดให้เมตริกซ์ $A,B$ มีมิติ $(k+1) \times (k+1)$

เราได้แสดงไว้แล้วว่า $M_{ij} (A) \equiv M_{ij} (B) \pmod{n}$

แต่ทั้ง $M_{ij} (A),M_{ij} (B)$ ต่างเป็นเมตริกซ์มิติ $k \times k$

ดังนั้น $\det (M_{ij} (A)) \equiv \det (M_{ij} (B)) \pmod{n}$

จากนิยาม $\det (A) = \sum (-1)^{i+j} a_{ij} \det (M_{ij} (A))$

ก็จะได้ว่า $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$

ดังนั้น $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$ เป็นจริงสำหรับเมตริกซ์ $A,B$ มิติ $m \times m$ ใดๆ #

$(a,n)=1$ ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็ม $a^{-1}$ ซึ่ง $a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$

และเรียก $a^{-1}$ ว่าเป็น อินเวอร์สมอดุโล $n$

พิสูจน์ : $(\Rightarrow)$ จาก $(a,n)=1$

จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม $x,y$ ซึ่ง $ax+by=1$ นั่นคือ $ax \equiv 1 \pmod{n}$

$(\Leftarrow)$ จาก $ab \equiv 1 \pmod{n}$

แต่ $(1,n)=1$ ดังนั้น $(ab,n)=1$ ด้วย

สมมติว่า $(a,n)=d>1$

ก็จะได้ว่า $(ab,n)=d' \ge d >1$ ขัดแย้งกับที่ได้แสดงไว้

ดังนั้น $(a,n)=1$ #

อินเวอร์สมอดุโล $n$ ของ $a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}$ แตกต่างกันหมด

(อินเวอร์สมอดุโล $n$ ของ $x$ คือจำนวนเต็มเขียนแทนด้วย $x^{-1}$ ซึ่ง $x \cdot x^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$)

พิสูจน์ : สมมติว่ามีบางคู่ซึ่งใช้อินเวอร์สร่วมกัน สมมติเป็น $a_i,a_j$ เมื่อ $i \not= j$

นั่นคือ $a_i^{-1} \equiv a_j^{-1} \pmod{n}$

คูณ $a_ia_j$ ได้ว่า $a_j \equiv a_i \pmod{n}$

ขัดแย้งกับที่ $\{ a_1,a_2,...a_{\phi (n)}\}$ เป็น RRS

ดังนั้น อินเวอร์มอดุโล $n$ ของ $a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}$ แตกต่างกันหมด #

และส่งผลให้อินเวอร์สของ $a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของตัวเอง

(แปลว่า $a_1^{-1}+a_2^{-1}+\cdots+a_{\phi (n)}^{-1} \equiv a_1+a_2+\cdots+a_{\phi (n)} \pmod{n}$)

สำหรับจำนวนนับ $n>2$ ได้ว่า $\phi (n)$ เป็นเลขคู่เสมอ

พิสูจน์ : ถ้าให้ $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ แทนการเขียนในรูปแบบบัญญัติ

เนื่องจาก $\phi (n)=(p_1^{a_1}-p_1^{a_1-1})(p_2^{a_2}-p_2^{a_2-1}) \cdots (p_k^{a_k}-p_k^{a_k-1})$

ดังนั้น ถ้า $n$ มีจำนวนเฉพาะคี่ $p_i$ เป็นตัวประกอบแล้ว แฟคเตอร์ $p_i^{a_i}-p_i^{a_i-1}$ เป็นจำนวนคู่เสมอ และทำให้ $\phi (n)$ เป็นจำนวนคู่

และถ้า $n$ ไม่มจำนวนเฉพาะคี่ แสดงว่า $n=2^k$ เมื่อ $k \ge 2$ และทำให้ $\phi (n)=2^k-2^{k-1}$ เป็นจำนวนคู่ด้วย

ดังนั้น สำหรับ $n>2$ ได้ว่า $\phi (n)$ เป็นเลขคู่เสมอ

ถ้า $\{ b_1,b_2,...,b_{\phi (n)} \}$ คือเซต Reduced Residue System (RRS) ที่เป็นบวกน้อยที่สุดของมอดุโล $n$ แล้ว

$b_1+b_2+\cdots+b_{\phi (n)} = \dfrac{n \phi (n)}{2}$

พิสูจน์ : เนื่องจาก $(n-b_i,n)=1$ ด้วย

ดังนั้น $\{n-b_1,n-b_2,...,n-b_{\phi (n)}\}$ ก็เป็น RRS ที่เป็นบวกน้อยสุดของมอดุโล $n$

แสดงว่า $b_1+b_2+\cdots+b_{\phi (n)}=n-b_1+n-b_2+\cdots+n-b_{\phi (n)}$

$b_1+b_2+\cdots+b_{\phi (n)} = \dfrac{n \phi (n)}{2}$ #

ถ้า $12+\dfrac{7}{12}<x<12+\dfrac{8}{12}$

ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+7=151$

ได้ $151x=2012$

$x=\dfrac{2012}{151}>13$

$\therefore$ ในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ถ้า $12+\dfrac{8}{12} \le x<12+\dfrac{9}{12}$

ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+8=152$

ได้ $152x=2012$

$x=\dfrac{2012}{152}>13$

$\therefore$ ในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ถ้า $12+\dfrac{9}{12} \le x<12+\dfrac{10}{12}$

ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+9=153$

ได้ $153x=2012$

$x=\dfrac{2012}{153}>13$

$\therefore$ ในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ถ้า $12+\dfrac{10}{12} \le x<12+\dfrac{11}{12}$

ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+10=154$

ได้ $154x=2012$

$x=\dfrac{2012}{154}>13$

$\therefore$ ในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ถ้า $12+\dfrac{11}{12} \le x<12+\dfrac{12}{12}$

ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+11=155$

ได้ $155x=2012$

$x=\dfrac{2012}{155}$

โดยที่ $12+\dfrac{11}{12} < \dfrac{2012}{155} < 13$

$\therefore$ ในกรณีมีคำตอบเดียวคือ $x=\dfrac{2012}{155}$