หาสัมประสิทธิ์
 

จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ของพหุนาม $(1+x)(1+2x)(1+4x)...(1+2^nx)$

สปส ของ $ x^2 $

$ 2^{2n} + 2^{2n-1} + 2^{2n-2} + ? + 2^{n+1} - 2^{2n-1} - 2^{2n-3} - 2^{2n-5} - ? - 2 $

ช่วยตรวจให้ด้วยนะคะว่า ตอบถูกหรือไม่

:)

ต้องหาเป็นผลสำเร็จสิครับ

เสนอให้อีกวิธีลองพิจารณาดูนะครับ
ให้ $a_{i}=2^{i}$ โดย $0 \leq i \leq n$
โจทย์ต้องการผลบวกของผลคูณทีละสองตัวคือ $\sum a_{i}a_{j}$
ซึ่งก็หาได้จาก $(\sum a_{i})^2-\sum a_{i}^2$
คูณ $\frac{1}{2}$ เข้าไปก็จบ

ลองไปคิดดูนะได้เท่ากันหรือเปล่า

มันมายังไงเหรอคะ :please:

ไม่ใช่ๆ อย่างงี้ครับ กรณี $i=3$ ได้ลำดับ $1,2,4,8$
ผลบวกผลคูณทีละสองตัวคืออย่างนี้ $1\cdot 2+1\cdot 4+1\cdot 8+2\cdot 4+2\cdot 8+4\cdot 8=70$
ซึ่งก็เท่ากับ $\frac{1}{2}((1+2+4+8)^2-(1+4+16+64))$

อย่างนี้หรือเปล่าคะ ให้ $a_i=2^i$ เมื่อ $i=0,1,2,...$
$\frac{1}{2}[(\sum a_i)^2 - \sum (a_i)^2]$

$=\frac{1}{2}[(1+2+2^2+...+2^n)^2-(1+4+16+...+4^n)]$

$=\frac{1}{2}[(2^{n+1}-1)^2-\frac{4^{n+1}-1}{3}]$

$=\frac{1}{6}[3(2^{2n+2}-2^{n+2}+1)-(4^{n+1}-1)]$

$=\frac{1}{6}[2\cdot4^{n+1}+4-3\cdot2^{n+2} ]$

$=\frac{1}{3}[2^{2n+2}+2-3\cdot2^{n+1}]$

$=\displaystyle\frac{(2^{n+1}-2)(2^{n+1}-1)}{3}$

ลองแทน i=3 ได้ $\displaystyle{\frac{(16-2)(16-1)}{3}}=\frac{14\cdot15}{3}=70$

[quote=Aquila;169775]เสนอให้อีกวิธีลองพิจารณาดูนะครับ
ให้ $a_{i}=2^{i}$ โดย $0 \leq i \leq n$
โจทย์ต้องการผลบวกของผลคูณทีละสองตัวคือ $\sum a_{i}a_{j}$
ซึ่งก็หาได้จาก $(\sum a_{i})^2-\sum a_{i}^2$
คูณ $\frac{1}{2}$ เข้าไปก็จบ

$ จากโจทย์ ผลบวกของ สปส ของ \;x\; = 1 + 2 + 4 + 8 + ? + 2^n = 2^{n+1} ? 1 $


$ \begin{array}{rcl}ผลบวกของ สปส ที่เกิดจาก \;x \;คูณกับ ตัวที่เหลือ &=& 1\;( 2^{n+1} ?1-1) \;[ -1 \;ตัวหลัง เกิดจากการหัก\; x \;ในวงเล็บแรกออก ] \\
&=& 2^{n+1} ? 2 \\
ผลบวกของ สปส ที่เกิดจาก \;2x \;คูณกับ ตัวที่เหลือ &=& 2 \;(2^{n+1} ?1-1?2) \;[ -2 \;เพราะมีการซ้ำของ \;x \;คูณ\; 2x\;กับ\;2x\; คูณ \;x ] \\
&=& 2^{n+2} ? 2^3 \\
ผลบวกของ สปส ที่เกิดจาก \;4x \;คูณกับ ตัวที่เหลือ &=& 4 \;(2^{n+1} ?1-1-2-4) \;[ ทำนองเดียวกัน ] \\
&=& 2^{n+3} ? 2^5 \\
.\\
.\\
.\\
ผลบวกของ สปส ที่เกิดจาก \;2^{n-1}x\; คูณกับ ตัวที่เหลือ &=& 2^{n-1} (2^{n+1} ?1-1-2-4-?-2^{n-1}) \\
&=& 2^{2n} ? 2^{2n-1} \end{array}$


ผลบวกของ สปส ของ $ x^2 $ ทั้งหมด

$ = [ 2^{2n} + 2^{2n-1} + 2^{2n-2} + ? + 2^{n+1}]\; ? [ 2^{2n-1} + 2^{2n-3} + 2^{2n-5} + ? + 2^1 ] $

$ = 2^{n+1} [\; 2^{n-1} + 2^{n-2} + 2^{n-3} + ? + 2^0 \;] \;? \; 2\; [\; 2^{2n-2} + 2^{2n-4} + 2^{2n-6} + ? + 2^0\; ] $

$ = 2^{n+1} ( 2^n ? 1 ) \;? \; 2\; [\; 4^{n-1} + 4^{n-2} + 4^{n-3} + ? + 4^0\; ] $

$ = [2^{2n+1} - 2^{n + 1} \;]\;? \; \frac {1}{2} \; [\; 4^n + 4^{n-1} + 4^{n-2} + ? + 4^1 + 4^0 ? 1 \; ] $

$ = \; \frac {1}{2}[ 2^{2n+2} ? 2\cdot 2^{n + 1}+ 1 - 1 ]\; ? \; \frac {1}{2}[ \sum_{i=0}^{n} 2^{2i} - 1 ]$

$ = \; \frac {1}{2}[ ( 2^{n+1} ? 1)^2 - 1 ] \;? \; \frac {1}{2}[ \sum_{i=0}^{n} 2^{2i} - 1 ]$

$ = \; \frac {1}{2}[ (\sum_{i=0}^{n} 2^i )^2 - 1 ]\; ? \; \frac {1}{2}[ \sum_{i=0}^{n} 2^{2i} - 1 ]$

$ = \; \frac {1}{2}[ (\sum_{i=0}^{n} 2^i )^2 \; ? \sum_{i=0}^{n} 2^{2i} ]$

$ = \; \frac {1}{2}[ (\sum_{i=0}^{n} a_i )^2 \; ? \sum_{i=0}^{n} a_i^{2} ]$


พิมพ์ตามคำแนะนำแล้วนะ ทำไม $ \sum $ เป็นแบบนี้คะ

:laugh: