พิสูจน์ทฤษฎีจำนวนเรื่องจำนวนเฉพาะค่ะ
 

จงแสดงว่า ถ้า p และ p+2 เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ที่ p>3 แล้วผลบวกของ p และ p+2 หารด้วย12ลงตัว

p ที่เป็นไปได้คือ p = 12n+5 หรือ 12n + 11

ยังไงอะคะ ทำไมถึงได้12n+5 หรือ12n+11 คะ และพืสูจน์อย่างไรคะ

ลองให้เป็น 12n+1,12n+3,12n+7,12n+9 ดู

แต่ถ้าแทน 12n+5 และแทนn=5 ก็ไม่เป็นจำนวนเฉพาะหนิคะ

p=12n+5 หรือ p=12n+11 สำหรับบางจำนวนเต็ม n ค่ะ

ไม่จำเป็นว่า n ทุกตัวต้องทำให้ 12n+5 หรือ 12n+11 เป็นจำนวนเฉพาะ

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p > 3 แล้ว p จะเขียนอยู่ในรูป 6k-1 หรือ 6k+1 ได้ โดยจะมี k เป็นจำนวนเต็ม ทำให้มันเป็นจริง $(p \equiv \pm 1 (mod 6))$

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง p=6k+1 จะได้ว่า p+2=6k+3 ซึ่ง 6k+3 ถูกหารด้วย 3 ลงตัว จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ p+2 เลยไม่เข้าเงื่อนไขที่ต้องพิสูจน์

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง p=6k-1 จะได้ว่า p+2=6k+1 นั้นคือ p+2 มีโอกาสเป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อนำมาบวกกันจะได้ p+p+2=12k นั้นคือ ถูกหารด้วย 12 ลงตัว