พิสูจน์ phi function อะครับ
 

$$ \Phi (3n) = 3\Phi (n) ก็ต่อเมื่อ 3|n $$ ผมหาข้อที่มันเกี่ยวกันไม่ได้เลยอะครับ

$\Rightarrow $
สมมติ $3 \nmid n$
และ $ n = p_1^ {i_1}p_2^{i_2}...p_k^{i_k} $ไม่มี $p_i $ใดๆ $= 3$

$\phi (n) = n(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_k})$
$\phi (3n) = 3n\dfrac{2}{3}(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_k})$

$\phi (3n) = 2n(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_k})$

$\therefore \phi (3n) \not= 3 \phi(n)$

$\Leftarrow $

สมมติ $3|n$
และ$ n = 3^{i_0}p_1^ {i_1}p_2^{i_2}...p_k^{i_k} $ไม่มี $p_i $ใดๆ $= 3$

$\phi (n) = n\dfrac{2}{3}(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_k})$
$\phi (3n) = 3n\dfrac{2}{3}(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_k})$

$\therefore \phi (3n) = 3 \phi(n)$

$\therefore \phi (3n) = 3 \phi(n) \Leftrightarrow 3|n$

ขอบคุณครับ

ทำไม φ(n) ด้านบนกับด้านล่างไม่เท่ากันอะครับ
∴φ(3n)=3φ(n) อันล่างมันไม่เท่ากันนะครับ

ด้านบนเปลี่ยนจาก $p\rightarrow q\equiv \sim q\rightarrow \sim p$

ด้านบน $3\nmid n$
$\phi (3n)=\phi (3)\phi (n)=2\phi (n)\not= 3 \phi (n)$

ด้านบนจะพิสูจน์ว่า
ถ้า $\phi(3n) = 3\phi(n)$ แล้ว $3|n$
ซึ่งสมมูลกับ
ถ้า $3 \nmid n$ แล้ว $\phi(3n) \not= 3\phi(n)$

จึงสมมติให้ $3 \nmid n$, $\phi(n)$ จึงไม่ต้องคูณ $(1-\frac{1}{3})$

แต่ด้านล่างพิสูจน์ขากลับว่า ถ้า $3|n$ แล้ว $\phi(3n) = 3\phi(n)$

จึงสมมติให้ $3|n$, $\phi(n)$ จึงต้องคูณ $(1-\frac{1}{3})$ ด้วยครับ

$3n\dfrac{2}{3}(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_k}) \not= n\dfrac{2}{3}(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_k})$

มันไม่ได้เท่ากันครับ มันเป็น 3 เท่า :):)

อ่อออ ขอบคุณมากครับ