จำนวนอตรรกยะ
 

ทุกจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการ x^3+x+3=0 เป็นจำนวนอตรรกยะ

ปล. ขอเเนวทางการพิสูจน์เเบบข้อขัดเเย้งหน่อยครับ

ใช้ทฤษฎีบทรากตรรกยะ

ขอบคุณครับ คือผมสมมติให้สมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ
ให้ x=m/n เป็นคำตอบของสมการ
พอเเทนลงไปเเล้วยังหาทางไปต่อไม่ถูกครับ ><

เป็นคำถามที่ดีครับดูเรียบง่าย แต่ตรงประเด็น:great:

จำนวนตรรกยะที่จะเป็นรากของสมการนี้มี 4 รู้เท่านั้น อะไรบ้าง

เนื่องจากตัวประกอบของ 3 ได้เเก่ +-1,+-3
เเต่เอาไปแทนในสมการเเล้วเป็นเท็จครับผม

ลองแลกเปลี่ยนแนวคิดกันดูนะครับ.............
วิธีพิสูจน์แบบข้อขัดแย้ง
$$x^{3}+x+3=0$$
จากสมการข้างบนเรารู้ว่ารากของสมการเป็นจำนวนจริงแค่ 1 ค่า อีก 2 ค่าติดอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพอยู่
วิธีหาค่ารากก็ใช้วิธีทาง Nummerical method เพราะกราฟของ $y=x^{3}+x+3$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มตลอดค่า $x$
เช่นแทน $x=-2 ได้ y=-7 และ แทน x=-1 ได้ y=1$ แสดงว่า รากของสมการ $x^{3}+x+3=0$ อยู่ระหว่าง -2 และ -1 คือรากเป็นค่าลบ
$$ให้ x=-\frac{m}{n} โดยที่ m,n\in I^{+} และ (m,n)=1,x^{3}+x+3=0$$
ถ้าเราสามารถพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก m,n ที่มีคุณสมบัติตามที่ว่านี้ได้ แสดงว่า รากเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ถ้าเกิดข้อขัดแย้ง ก็แสดงว่าหาm,n ไม่ได้ รากของสมการก็ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ
.....แทน ค่า $x=-\frac{m}{n}$ ลงในสมการ $x^{3}+x+3=0$ จัดรูป จะได้
$$ 3n^{3}=m^{3}+n^{2}m....................(1)$$
แสดงว่า $3\mid (m^{3}+n^{2}m)$ คราวนี้ก็ใช้ทฤษฎีจำนวนผมสรุปได้ว่า $3\mid m เพราะ 3\nmid (n^{2}+1)$
....ให้ $m=3p,p\in I^{+}$ แทนลงไปในสมการ (1) จัดรูปอีกเหมือนเดิม จะได้
$$n^{3}=9p^{3}+pn^{2}.......................(2)$$
จากสมการ(2) ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะเกิดข้อขัดแย้งทันที แสดงว่า $2\mid n $ และส่งผลให้ $2\mid p$
จากข้อสรุป $2\mid n และ2\mid p$ ทำให้ $(p,n)\not= 1$ ซึ่งก็คือ $(m,n)\not= 1$ เกิดข้อขัดแย้งไม่สามารถหาค่า $m,n \in I^{+}และ (m,n)=1 ได้$ สรุปว่ารากของสมการ$x^{3}+x+3=0$ที่เป็นจำนวนจริงเป็นจำนวนอตรรกยะ

ขอบคุณครับผม ^^