อสมการเเข็งๆ
 

กำหนดให้ $a,b,c \geq 0$ จงพิสูจน์ว่า

$$\sum_{cyc}(\frac{a}{b+c})^2+\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq2$$

รบกวนด้วยครับ ขอเเค่ Hint ก็ได้ครับ :please:

Credit: เว็บบอร์ดชมรมคณิตศาสตร์โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

Hint??:
1.คูณ $(a+b)(b+c)(c+a)$ ทั้งสองข้าง
2.จะเห็นว่าเป็น $\sum_{cyc} \frac{a^2(a+b)(a+c)}{b+c}+6abc\geq 2\sum_{sym} a^2b$
3.Schur Inequality

ขอบคุณครับ ขออภัยที่ตอบช้า จะว่าไปผมอยากถามคุณ Rose-Joker ว่าค่ายตุลาสอวน.นี่มีเนื้อหาอสมการหรือเปล่าครับ?

มีแน่นอนครับผม สอนโดยอาจารย์อังศนา จั่นแดง (หมายถึงค่ายสอวนค่ายหนึ่งหรือไม่? ผมยังถือว่าค่ายที่เข้าที่สสวท ก็คือค่ายสสวทนะ)
Comment:
อาจารย์ท่านเป็นคนดีมากครับ เป็นอาจรย์ที่ทุ่มเทกับการสอน เพียงแต่ท่านออกไปแนวสอนเด็กมหาวิทยาลัย แนวแคลคุุลัสหรือเรื่องอื่นๆที่ไม่ใช่เรื่องอสมการมากกว่า ดังนั้น ในการเรียนกับท่าน ต้องเตรียมตัวมาดีพอสมควร เพราะอาจจะตามอาจารย์ไม่ทันอยู่บ้่าง...
ถ้าเป็นของค่ายที่สสวท (ผมคิดว่าคุณ Keehlzver น่าจะหมายถึงค่ายนี้ใช่หรือไม่? เพราะดูคุณ Keehlzver ก็เก่งกาจขนาดไม่น่าจะอยู่ค่าย สอวนค่าย 1)
ก็ยังมีอยู่ดีนั้นแหละ...คราวนี้สอนโดยอาจารย์อุศนีย์
Comment:
อาจารย์ท่านสอนเก่งมากถึงมากที่สุด เด็กคนไหนที่ตามอาจารย์อังศนาไม่ทัน สามารถมาเริ่มต้นใหม่ ณ จุดนี้ได้ (แต่ทางที่ดีควรปรับตัวให้ได้ตอนอยู่ สอวน) อาจารย์มีเอกสารที่ครบ และแบ่งเป็นหมวดหมู้ ีะดับ ฯลฯ ได้ชัดเจนอย่างดีเยี่ยม...เป็นอาจารย์ที่น่ารักที่สุดในค่าย สสวท ก็ว่าได้...(สำหรับผมนะ)

...ขอโทษด้วยที่ตอบช้า ผมเพิ่งสอบเสร็จไม่กี่วันที่ผ่านมานี้...และผมก็ไม่ค่อยได้เข้าเว็บ mathcenter แล้วด้วย...

ถ้าอย่างนั้น ก็ต้องขอแสดงความเสียใจกับคุณ Rose-Joker ด้วยนะครับ
เพราะ อาจารย์ ท่านไม่ได้สอนแล้วครับ
เพิ่งจะเปลี่ยนครูปีนี้เอง