ขอถามอะไรหน่อยได้มั๊ยครับ
 

อยากทราบว่าอนุกรมต่อไปนี้จะลู่เข้าหรือไม่ ถ้าลู่เข้าจะมีลู่เข้าหาจำนวนใด

1.) sin (p/2) + sin (p/4) + ... + sin (p/2ⁿ) + ...

2.) sin (p/2!) + sin (p/3!) + ... + sin (p/(n + 1)!) + ...

3.) sin²(p/2) + cos³(p/3) + sin⁴(p/4) + ... (อันนี้เขียนรูปทั่วไปไม่ถูก)

ทั้งนี้ทั้งนั้น ผมไม่เร่งด่วนอะไรครับ
แสดงวิธีทำให้ดูด้วยครับ (เท่าที่หาก็ใช้ Excel หาค่า แล้ววาดกราฟออกมา โดยประมาณว่าสองอันแรกน่าจะลู่เข้า อันที่สามน่าจะลู่ออก)

(1) & (2) ลู่เข้าโดย comparison test เพราะ $\sin x<x$ เมื่อ $x>0$ แต่ผลบวกได้เท่าไหร่ผมไม่ทราบครับ ส่วน (3) ลู่ออกเพราะ $$ \lim_{n \to \infty} \cos^n \left( \frac{\pi}{n} \right) =1 \ne 0 $$

ไม่มีคำตอบออกมาในรูปแบบปิด

Mathematica นี่เวลาเจออะไรยากๆเข้าไป ก็ออกอาการมั่วนิ่มได้เก่งใช่ย่อยเลยนะ (แต่ยังน้อยกว่าผมหน่อย :p )

comparison test ก็... ให้ a_n = log n และ b_n = n จะได้ว่า 0 < a_n < b_n แต่ b_n ลู่ออก สรุปไม่ได้ว่า a_n ลู่เข้าหรือลู่ออกกันแน่ อะไรทำนองนั้นใช่มั๊ยครับ ... เอ๊ย a_n ลู่ออก b_n เลยลู่ออก

เท่าที่ใช้ Excel ก็ประมาณว่า
1.) ลู่เข้าหา 5/2
2.) ลู่เข้าหา 5/3
3.) ลู่ออก

มาดูใหม่ครั้งนี้ก็ 1.) และ 2.) ลู่เข้าจริง อาจอาศัย comparison test หรือ ratio test (อันนี้ใช้ common sense หน่อยๆ) ก็ได้