Marathon - Primary # 2
 

สืบเนื่องจาก Marathon - Primary # 1 ประสบความสำเร็จอย่างดี ซึ่งก็ขอขอบคุณทุกคนด้วยครับ

นี่คือภาค2ครับ กฎก็เหมือนเดิม
1.ใครตอบได้ ตั้งข้อต่อไป
2.ต้องแสดงวิธีทำด้วย
3.ในกรณีโจทย์ยาก กระทู้เงียบเกิน 1 วัน ให้สิทธิ์ผู้ใดก็ได้ตั้งโจทย์ข้อใหม่


เชิญตั้งโจทย์ครับ :great::great:

จะปิดกระทู้เมื่อ ครบ 999 คห.นะครับ

งั้นขอเริ่มคนแรกเลยนะคะ
Attachment 3132

ตอบ 9.5 รึเปล่าครับ

จาก Marathon #1 ผมว่ากระทู้น่าจะเปลี่ยนเป็น Olympic Marathon Primary #2

ถูกต้องแล้วคะ :great::great:
ขอวิธีทำนิดนึง

ตามรูปเลยครับ

Attachment 3133

คิดว่าลุง banker คงไม่ตั้งโจทย์ต่อ
ผมเลยมาตั้งให้ครับ :kiki:
โจทย์ของผมเป็นโจทย์แนวสนุกสนานเฮฮา ไม่หลงเหลือความยากอยู่แม้แต่น้อยครับ :died:

จงหาเศษเหลือจากการหาร $1^4+2^4+3^4+4^4+...+2010^4$ ด้วย 100

เห็นไหมครับ ไม่หลงเหลือความยากอยู่จริงๆด้วย

อ๊าก ทําไม่ได้

ความยากเอาไปทิ้งไว้ในห้อง math contest นะซิ โจทย์คุณScylla_Shadow ทำไม่ได้สักข้อ :haha:

(โจทย์แต่ละข้อ...... ไม่รู้ไปขุดมาจากไหน) :haha:

ได้แล้ว แต่อัด mod นะ
ตอบ 33 รึเปล่า

เอิ่มแต่กี้ คิดผิดโทดทีครับ :nooo::cry:

ขอวิธีคิดหน่อยครับ

ในข้อนี้ผมใช้วิธีของเด็กประถม+การสังเกต... ได้ดังนี้ครับ
$10^4$+$20^4$+$30^4$+...+$2010^4$ จะได้เลขสองตัวท้ายเป็น 00
$5^4$+$15^4$+$25^4$+...$1995^4$ จะได้เลขสองตัวท้ายเป็น 00 เมื่อบวกกับ $2005^4$ เลขสองตัวท้ายจะกลายเป็น 25
$1^4$+$2^4$+$3^4$+$4^4$+$6^4$+$7^4$+$8^4$+$9^4$ จะได้เลขสองตัวท้ายเป็น 08
ในทำนองเดียวกัน $11^4$+$12^4$+$413^4$+$14^4$+$16^4$+$17^4$+$18^4$+$19^4$ จะได้เลขสองตัวท้ายเป็น 08
...เป็นอย่างนี้ไปถึง $2001^4$+$2002^4$+$2003^4$+$2004^4$+$2006^4$+$2007^4$+$2008^4$+$2009^4$ จะได้เลขสองตัวท้ายเป็น 08 รวมทั้งหมด 201 ชุด
$\therefore$ ผลรวมของเลขสองหลักท้ายทั้ง 201 ชุด =$201\times 8$=1608
เมื่อนำผลที่ได้ทั้ง 3 แบบมารวมกัน จะได้เลขสองตัวท้ายของผลรวมทุกชุดเป็น 00+25+08=33
$\therefore$ เศษเหลือจากการหาร $1^4+2^4+3^4+4^4+...+2010^4$ ด้วย 100 คือ 33
ปล.วิธีนี้เป็นแบบเด็กประถมทำ แต่ผมอยากเห็นวิธีที่ใช้mod ของคุณ kimchiman ช่วยแนะนำด้วยครับ
ถ้าคำตอบถูก สิทธิ์ในการตั้งโจทย์ข้อต่อไปเป็นของคุณ kimchiman ครับเพราะตอบถูกตั้งแต่ต้นแล้ว

ช่วยอธิบาย สัก นิด นะครับ ผมยัง งงๆ อัน 5^4 + 15^4 + 25^4 + ... + 1995^4
ทำไมถึง ลง ท้าย 00 อ่าครับ

มีบางข้อ ขุดมาจากสระบุรีครับ
บางข้อนี่นั่งปลูกเองเลยครับ
บางข้อก็ขุดมาจากหลายๆที่ครับ แล้วเอามาตำ
จากข้อความข้างต้นจะเห็นว่า โจทย์ผมก็คือ... :kaka:

ส่วนคำตอบ 33 ถูกแล้วนะครับ

เหตุเพราะว่า พวกที่ลงท้ายด้วย5 ยกกำลังสอง ลงท้ายด้วย 25 ครับ เช่น $5^2=25,15^2=225,25^2=625,35^2=1225$

อ่อ ขอขอบคุณล่วงหน้านะครับ ปล. ขอโทดนะครับผมใช้ latex ยังไม่เป็นครับ หา ยกกำลังไม่เจอ --

\[1^4+2^4+...+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \]
ดังนั้น \[1^4+2^4+3^4+4^4+...+2010^4=\frac{(2010)(2011)(4021)(3\times2010^2+3\times2010-1)}{30}\]
67$\equiv$ 67(mod100)
2011$\equiv $ 11(mod100)
4021$\equiv $ 21(mod100)
$3\times2010^2+3\times2010-1\equiv 29(mod100)$
จับคูณกัน
$1^4+2^4+3^4+4^4+...+2010^4 \equiv 67\times11\times21\times29 \equiv 33(mod100) $
ก็ได้เศษ 33 ครับ

สำหรับข้อต่อไปขอเรขานะครับ
3. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC มีจุด A เป็นจุดยอด $\hat{BAC}=20^o$ กำหนดจุด D บนด้าน BA ที่ทำให้ BC=AD จงหาขนาดของ $\hat{ACD}$

ผม ขอ ตอบ 35 องศา ง๊าบ T^T ผิดยังไงบอกด้วยนะ ง๊าบ อยากทราบวิธีทำ

ผิดครับ มากไปหน่อย

ขอบคุณครับ ^^

$20$ องศา :mellow::great:

คิด ยัง ไงหยองับ

สู้ ต่อไปนะครับ~~

ให้ $n=\underbrace{333......333}_{100 ตัว} $ และ $N=\underbrace{444......444}_{k ตัว}$
จงหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำ $n\mid N$

ขอโทษนะครับ
คำตอบของคุณ Siren-Of-Step 20 องศา ตอบผิดครับ
งั้นผงเฉลย 10 องศาครับ แต่วิธีคิด ผมขอวิธีวาดรูปในความคิดเห็นได้มั๊ยครับ

เอ่อข้อนี้ขอก่อนได้ไหมครับ
มันคล้ายกับในคอนเทสม.ต้นข้อ 11 พอดี
แค่กลับกันนิดเดียว (นิดเดียวจริงๆ) ถ้าเฉลยอาจจะ.....

ผมไม่รู้วิธีวาดรูป ผมใช้เขียนแล้วกันครับ
วาดสามเหลี่ยม ADE ออกไปทางจุด C ให้สามเหลี่ยม ADE เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม ABC ลาก CE แล้วก็ไล่มุมไล่ด้านเองครับ

ว้าว เกมนี้ไปได้ดีครับ มีพี่ปลาช่อนกับพี่ฟ้าคอยช่วย คงราบรื่นนะครับ
เพราะพักนี้ผมก็ไม่ค่อยว่างด้วย ^_^

จากการสังเกตุ

$3\mid{444}$
$33\mid{444,444}$
$333\mid{444,444,444}$
.
..
...
$\underbrace{333......333}_{100} \mid {\underbrace{444......444}_{300}}$
$\therefore k = 300$ จะทำให้ $n\mid{N}$

สละสิทธิ์ตั้งโจทย์

งั้นผมขอข้อต่อไปแล้วกัน
5. กําหนดระบบสมการ
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=6$
และ $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b}=8$
แล้ว $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=?$

คล้ายกับข้อนี้
$A=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$
$B=\frac{b}{c}+\frac{d}{a}$

$A+B=6$...(1)
$AB=8$...(2)

$A(6-A)=8$
$A^2-6A+8=0$
$A=2,4$

เนื่องจากโจทย์ไม่บอกเงื่อนไขอื่นๆ เลยไม่รู้ว่าใช้ได้ทั้งสองตัวหรือเปล่า?
แต่ถ้ามีเงื่อนไข $a>b>c>d>0$ ก็ตอบ $4$

สละสิทธิ์ตั้งโจทย์

6. ถ้า w,x,y,z เป็นจํานวนจริง
ที่ไม่เท่ากับศูนย์ที่แตกต่างกันที่ทําให้
$w+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{w}\geqslant0$
จงหาค่าของ w+x+y+z+$\frac{1}{w}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

ผมคิดว่า ค่าสูงสุด หาไม่ได้อะครับ

ผมแก้โจทย์หน่อยนึงตามด้านบนครับ

ข้อ 6
ตอบ 8 ครับ

ขอแก้โจทย์อีกหน่อยนะครับ
บรรทัดบนสุด ขอแก้เป็น w,x,y,z เป็นจำนวนจรคิงที่ไม่เท่ากับศูนย์ครับ

แล้วก็
เป็นคำตอบที่ผิดครับ

เอ่อ คือว่า ... ถ้าสามารถเฉลยได้แล้ว ช่วย เฉลยให้ผมทีนะครับ (ขอโจทย์ด้วยนะครับ)

ปัญหาคือจะอธิบายแบบเด็กประถมยังไงดี
เพราะคำตอบก็ติดรูท (ถ้าผมทดเลขไม่ผิดจะได้ $6\sqrt{2}$) และวิธีทำก็ไม่น่าดู
สำหรับประถมเอาซะเลย

ขอตั้งข้อต่อไปเลยล่ะกัน
มีจำนวน 1 ถึง 36 อยู่บนกระดาน
ข้าวปั้นจะเลือกลบไปสองจำนวนแล้วเขาจะเขียนผลบวกของสองจำนวนนั้นลงไปแทน
เขาทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ แล้วจำนวนสุดท้ายที่จะเหลืออยู่บนกระดารเป็นเท่าไร

ตอบ 1+2+3+...+35+36 = เลขซาตาน ป่าวครับ

คูณ Scylla_Shadow ชอบเลขตองระวังจะมีคนเดาคำตอบในmathcontestถูกนะครับ