ช่วยแสดงวิธีทำข้อสอบ สสวท 54 ข้อนี้หน่อยครับ
 

จงหาจำนวนคู่สามหลัก สองจำนวนที่เรียงติดกัน ที่น้อยที่สุด ที่หาร (5^24) - 1 ลงตัว

$5^{24}-1=(5^{12}+1)(5^6+1)(5^3+1)(5^3-1)$
ตอบ 124 กับ 126

แล้วรู้ได้ยังไง ว่า แต่ละตัวใน สี่วงเล็บนี้ จะไม่แยกตัวประกอบต่อไปแล้วจับคู่ เกิดเป็นคำตอบที่น้อยกว่าได้อะครับ

เช่น (5^6)+1 แยกต่อไป จะหารด้วย 13 ลงตัว
เนื่องจากสี่วงเล็บนี้เป็นเลขคู่หมด แปลว่า (5^24)-1 จะหารด้วย 8 ลงตัว
ดังนั้น (5^24)-1 จะหารด้วย 13x8 = 104 ลงตัว

แล้วจะเห็นว่า (5^3)+1 = 126 หารด้วย 3 ลงตัว
ที่นี้ ถ้าเกิด (5^12)+1 หารด้วย 17 ลงตัวอีก (5^24)-1 ก็จะหารด้วย 17x3x2 = 102 ลงตัว

ก็จะเกิดเป็นคำตอบที่น้อยกว่า คือ 102 กับ 104 ได้
แต่ข้อนี้บังเอิญว่า (5^12)+1 หารด้วย 17 ไม่ลงตัว

คำถามก็คือ รู้ได้ยังไง ว่า แต่ละตัวใน สี่วงเล็บนี้ จะไม่แยกตัวประกอบต่อไปแล้วจับคู่ เกิดเป็นคำตอบที่น้อยกว่าได้อะครับ

ถ้าแยกต่อจะแยกได้หรอครับ
ปล.หรือถ้าแยกได้ก็คงไม่เป็นจำนนวนเต็ม แล้วจะพิจจาราณาว่าเป็นจำนวนคู่คงไม่ได้

แยกต่อได้เป็น

$5^6+1=[(5^2)^3+1]=(5^2+1)(5^4-5^2+1)=2\times {13}\times {601}$
และ$(5^{12}+1)=[(5^4)^3+1]=(5^4+1)(5^8-5^4+1)=2\times {313}\times 390001$

ให้สังเกตโดยมันไม่สามารถแยกเป็น $(a-1)(a+1)$

เพราะฉะนั้นจึงไม่มีจำนวนคู่ที่เรียงต่อกันอีกแล้วครับ