พิสูจน์เส้นเเบ่งครี่งมุมของสามเหลี่ยม
 

สามเหลี่ยม $\triangle ABC$ ลากเส้น $CD$มาตัดด้าน $AB$ ที่สุด $D$โดย $\hat {ACD}=\hat{BCD} $ $BC = a, AC = b, BD = x, AD = y, CD = m $ จงพิสูจน์ว่า
$$a\times B = x\times y + m^2$$

ก่อนอื่นนะครับกำหนดให้ $\hat {ACD}=\hat{BCD}=\beta ,BC = a, AC = b, BD = x, AD = y, CD = m $
แล้วใช้สูตร $m=(ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของaและb)\times cos\beta $ และใช้ความสามารถทางพีชคณิตฟีตออกมาจะได้ในที่สุดดังนี้ครับ
$$m=\frac{2ab}{(a+b)} cos\beta $$
$$m^2=4\frac{(ab)^2}{(a+b)^2}cos^2\beta $$
$$m^2=4\frac{(ab)^2}{(a+b)^2}(\frac{cos2\beta +1}{2}) $$
$$m^2=2\frac{(ab)^2}{(a+b)^2}(cos2\beta +1)$$
$$m^2=2\frac{(ab)^2}{(a+b)^2}(\frac{a^2+b^2-(x+y)^2}{2ab} +1)....[(x+y)^2=a^2+b^2-2abcos\beta ]$$
$$m^2=2\frac{(ab)^2}{(a+b)^2}(\frac{(a+b)^2-(x+y)^2}{2ab} )$$
$$m^2=\frac{ab}{(a+b)^2}((a+b)^2-(x+y)^2)$$
$$m^2=ab-\frac{ab}{(a+b)^2}( (x+y)^2) $$
$$m^2=ab-\frac{(xy)}{(x+y)^2} (x+y)^2....\because \frac{x}{y} =\frac{a}{b}$$
$$m^2=ab-xy$$
$$ab=xy+m^2...........Ans$$
hint:ลองวาดรูปตามโจทย์ที่คุณ Supermathให้มาก่อนนะครับ

C is Circumcenter of tri(ABC)
-->Extended |CD| to point P on C
--> tri.ACD~tri.BCP then ab=m^2+mx|DP|
--> tri.ACD~tri.BDP then mx|DP|=xy
so ab=m^+xy

เส้นแบ่งครึ่งมุมกับเส้นมัธยฐาน
 

สิ่งที่ผมนำเสนอตามรูปภาพเกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งมุมและเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมใดๆ มีอยู่ในทฤษฎีบทไหนของเรขาคณิตไหมครับ

ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นแบ่งครึ่งมุมกับเส้นมัธยฐาน
 

ถ้ากำหนดให้ด้านประกอบมุมยอดของสามเหลี่ยมมีค่าคงที่.......
"กำลังสองของความยาวเส้นมัธยฐานและกำลังสองของความยาวเส้นแบ่งครึ่งมุมจะมีความสัมพันธ์กันแบบเชิงเส้น"
เช่นสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านประกอบมุมยอดเท่ากับ 3 และ 15 หน่วยตามลำดับ และมีเส้นแบ่งครึ่งมุมยาว 4 หน่วย
สามารถหาความยาวเส้นมัธยฐานได้คือ.....
อันดับแรกตรวจสอบความยาวเส้นแบ่งครึ่งมุมว่าเป็นไปได้หรือไม่ ใช้หลักว่าความยาวเส้นแบ่งครึ่งมุมต้องน้อยกว่าค่า $H.M.$
$H.M.=\frac{2ab}{(a+b)}=\frac{(2)(3)(15)}{(3+15)}=5.......p<H.M....ok$
1) หา $A.M.=\frac{(a+b)}{2} =\frac{(3+15)}{2} =9$
หา $G.M.^2=ab=(3)(15)=45$
หา $\omega =\frac{|a-b|}{2}=\frac{|3-15|}{2} =6$
2) ได้ $m^2=\frac{A.M.^2}{G.M.^2}p^2+\omega ^2=\frac{9^2}{45}(4^2)+6^2=64.8$ .......จะได้ $m\approx 8.05 หน่วย$

และยังพบอีกว่าส่วนสูง,ความยาวเส้นแบ่งครึ่งมุมและความยาวเส้นมัธยฐานมีความสัมพันธ์กันแบบง่ายๆผ่านตัวแปร $\omega $ ทำให้สามารถสร้างสามเหลี่ยมเมื่อทราบค่าส่วนสูง,ความยาวเส้นแบ่งครึ่งมุมและความยาวเส้นมัธยฐานเมื่อลากจากจุดยอดเดียวกันได้อย่างไม่ยา กนัก.....สิ่งนี้มีอยู่ในทฤษฎีทางเรขาคณิตบทไหนไหมครับผู้รู้:please:

ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนสูง,เส้นแบ่งครึ่งมุมและเส้นมัธยฐาน
 

ก็ต้องขอขอบคุณเจ้าของกระทู้นะครับที่เปิดช่องทางคำถามดีๆมาให้ ก็ขอแอบต่อยอดต่อเลยล่ะกันครับ:ohmy:

......ยกตัวอย่างนะครับถ้าสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว 3,4และ5หน่วย เป็นการไม่ยากเกินไปที่เราจะหาความสูง(h),
ความยาวเส้นแบ่งครึ่งมุม(p)และความยาวเส้นมัธยฐาน(m)ว่ามีระยะเท่ากับเท่าไหร่บ้าง โดยใช้ด้าน 5 หน่วยเป็นฐาน.....
.....ในทางกลับกันน่าจะเป็นการยากอยู่พอสมควรที่ถ้ากำหนดความสูง(h)เท่ากับ 12หน่วย,
ความยาวเส้นแบ่งครึ่งมุม(p)เท่ากับ 13 หน่วยและความยาวเส้นมัธยฐาน(m)เท่ากับ 15หน่วย
แล้วถามว่าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมยาวเท่าไหร่บ้าง......
.....วิธีทำ ลองไปคิดกันดูนะครับ เฉลยก็คือด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมยาว $a\approx 12.44,b\approx 24.44$
และ $c\approx 24.59$ ก็ขอให้ผู้รู้ทั้งหลายช่วยกันแย้งตรวจสอบดูคำตอบด้วยนะครับ.......
.....ส่วนวิธีที่ผมใช้หาได้สรุปเป็นสูตรแนบมาให้แล้วครับ ขอบคุณครับ