ขอข้อสอบ TMC รอบ 2 ของปีนี้หน่อยครับ
 

วันนี้ถ้าใครไปสอบ TMC รอบ 2 ช่วยลงข้อสอบด้วยครับ อยากเห็น

ขอบคุณล่วงหน้าครับ^^

ม.3 (เท่าที่จำได้)

$a+a^{-1}=7$ แล้ว $a^2+a^{-2}$ เท่ากับเท่าไหร่

$(1+\sqrt{2} +\sqrt{3} )(1+\sqrt{2} -\sqrt{3} )(1-\sqrt{2} +\sqrt{3} )(1-\sqrt{2} -\sqrt{3})$ เท่ากับเท่าไหร่

ให้ P เป็นจำนวนเฉพาะบวก แล้ว $P^{2557}+P^{2556}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้ว P เป็นไปได้กี่จำนวน

กราฟ $2ax+y=1$ ตั้งฉากกับ $x-4\sqrt{a} y=2$ แล้ว a=?
1) 4
2) 3
3) 2
4) 1
5) 0

ให้ p(x) เป็นพหุนามดีกรีสอง
$P(x)\geqslant 0$
$P(1)=0$
$P(2)=2$
แล้ว $P(1)+P(2)+P(3)+...+P(8)+P(9)+P(10)=?$

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่น้อยที่สุด ที่มีพื้นที่สามเหลี่ยม เท่ากับ ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม มีค่าเท่ากับเท่าไหร่
1) 60 ตารางหน่วย
2) จำไม่ได้
3) 24 ตารางหน่วย
4) 20 ตารางหน่วย
5) 16 ตารางหน่วย

ให้ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8, A_9, A_{10}, A_{11}, A_{12}$ เป็นจุดยอดของรูปสิบสองเหลี่ยม
แล้วรูปห้าเหลี่ยม $A_1A_2A_3A_4A_5$ มีพื้นที่เท่ากับเท่าไหร่

สามเหลี่ยม ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก
ให้ $\lfloor{x}\rfloor$ เป็นจำนวนเต็มที่ค่ามากที่สุดทีน้อยกว่าหรือเท่ากับ x
เช่น $\lfloor{2.5}\rfloor=2$
แล้ว $\lfloor{tan A}\rfloor+\lfloor{tan B}\rfloor$ มีค่าเท่ากับเท่าไหร่

ให้ สี่เหลี่ยม ABCD และ สี่เหลี่ยม AEFG เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากัน เมื่อลาก จากจุด C ถึง จุด E จะผ่าน จุด G พอดี แล้วมุม AHG มีขนาดเท่าไหร่

ให้ สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ส่วนของวงกลมที่มี D และ A เป็นจุดศูนย์กลาง ตัดกันที่จุด E
แล้ว มุม AEB มีขนาดเท่าไหร่

$(1+\sqrt{2} +\sqrt{3} )(1+\sqrt{2} -\sqrt{3} )(1-\sqrt{2} +\sqrt{3} )(1-\sqrt{2} -\sqrt{3})$
$= ((1+\sqrt{2})^3-(\sqrt{3})^2)((1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2)$
$= (3+2\sqrt{2}-3)(3-2\sqrt{2}-3) $
$= (2\sqrt{2})(-2\sqrt{2}) $
$= -8$

1 2 3 4 5 6 ... 999998 999999 1000000
นำจำนวนเหล่านี้มาเขียนในรูป ผลบวกเลขโดด (เป็นเลขหลักเดียว ถ้ายังไม่เป็นเลขหลักเดียว ให้ทำต่อไปเรื่อยๆ)
เช่น 12=1+2=3
20=2+0=2
56=5+6=11=1+1=2
112=1+1+2=4
เมื่อเขียนเสร็จแล้ว ให้ P เป็นจำนวนครั้งที่ เขียนเลข 1
ถามว่า ผลบวกเลขโดด P เท่ากับเท่าไหร่

$p^{2557}+p^{2556} = p^{2556}(p+1)$
แสดงว่า $p+1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ให้ $p+1 = k^2$
$p = k^2-1$
$p = (k+1)(k-1)$
เนื่องจาก $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ แสดงว่า $k-1=1$
$\therefore k=2$
นั่นคือ $p=3$

โจทย์ให้มาแค่นี้ หาคำตอบได้หรอครับ