ขอความช่วยเหลือ: Number Theory Project
 

ตอนนี้ผมกำลังหาหัวข้อเรื่องในการทำปัญหาพิเศษ
อยากให้พี่ๆช่วยแนะนำเรื่องในการทำปัญหาพิเศษหน่อยครับ
ผมอยากได้เรื่องเกี่ยวกับ Number Theory ครับ

Edit หัวข้อให้ชัดเจนกว่าเดิมครับ

หนังสือ ของ สอวน ก็มีนะครับเรื่องนี้ หรือว่า เข้าไปที่เว็บวิชาการ จะมีกระทู้คณิตที่เฉลยทฤษฎีจำนวนของสอวนอยู่นะ ไม่งั้นก็ดูในหนังสือม.4เทอม1แต่รู้สึกว่าไม่ค่อยหนำใจเท่าไร

บอกว่าปัญหาพิเศษก็ดูจะกว้างอยุ่นะครับ น่าจะเอาไปเป็น presentation เพื่อสัมมนา รึเปล่าครับ?
อันนี้เป็นความคิดผมเองคือ อาจจะมีแล้วแต่ผมยังไม่เคยเห็น(และผมอยากรู้เอง 55) ก็เป็นวิวัฒนาการของ ทฤษฏีจำนวน ตั้งแต่เริ่มต้นจากอะไร และมีนักคณิตศาสตร์ที่เริ่มศึกษากันอย่างเป็นระบบ และ เรื่องอะไรบ้าง ไม่รู้ว่าใช้ได้รึเปล่า แหะๆ

ตอนนี้ผมเรียน ปี 4 ครับต้องทำปัญหาพิเศษ คือ อาจจะเป้นทฤษฎี ใหม่ๆๆ หรือ อาจจะศึกษาต่อจากpaper ครับ ผมคิดไม่ออกอ่า อย่าง เช่น คำตอบของ 3/n=(1/a)+(1/b)+(1/c) เมื่อ nเป็นจำนวนเต็มคี่ ที่หารด้วย 3ไม่ลงตัว และ a b c เป็นเต็มบวก จะได้คำตอบ แบบแรก คือ .... จำไม่ได้อ่า เป็งสัมมนาเพื่อน แอบดูมันมา

ถ้าจะถามเรื่อง paper ทางคณิตศาสตร์ผมก็ไม่รู้แล้วล่ะครับ อิอิ ถึงได้ถามก่อนว่าจะเอาไปทำ presentation อะไรซักอย่างใช่รึเปล่า? ก็รอท่านอื่นๆมาเสนอกันต่อไป

เว็บนี้เลยครับ. arxiv

ไม่ทราบคุณ shin ยังสนใจจะทำทาง number theory อยู่มั้ย หรือว่าเปลี่ยนไปทำเรื่อง matrix แล้ว พอดีวันนี้ผมนึกเรื่องเกี่ยวกับ Sierpinski number ที่ไม่ง่ายไม่ยากจนเกินไปได้ ถ้าสนใจก็บอกมาได้นะครับ

สนใจครับ เพราะตอนนี้ผมก็กำลังทำเมตริกก็ ติดยุ่งไปหมดครับ กำหนดส่งก็มกราคม แต่ยังไม่ถึงไหนเลยครับพี่ ตอนนี้ยังไงก็ได้ครับ ผมจะไม่จบอยู่แล้ว 555 เด็กมข.เศร้า

เป็นการพิสูจน์ว่ามี Sierpinski number อยู่เป็นอนันต์ครับ outline ของการพิสูจน์มันอยู่ในรูปของโจทย์ดังนี้

Denote by $F_k$ the $k$-th Fermat number, i.e. $F_k=2^{2^k}+1$.

1. Show that $F_k$ is prime for $0\le k\le4$ but that $641\mid F_5$.

2. Let $h>1$ be an integer such that $$h\equiv1\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4}.$$ If $h\cdot2^n+1$ is prime, show that $32\mid n$.

3. Conclude that there exists an integer $a$ such that if $$h\equiv a\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4F_5}$$ and $h>1$, then for all $n\in\mathbb N$, $h\cdot2^n+1$ is composite.

ก็ทำไปละกันนะครับ ติดตรงไหนค่อยมาว่ากันอีกที ส่วนความรู้พื้นฐานทั่วไปเกี่ยวกับ Sierpinski number ก็หาได้จากกระทู้ของผมอันนั้น และจากเน็ต เช่น Wikipedia แต่อย่าใช้ของ MathWorld นะครับ เพราะนิยามที่นั่นไม่ใช่อันมาตรฐานที่คนอื่นเขาใช้กัน

ขอบคุณครับ จะทำให้เร็วที่สุดนะครับ แต่เสา อาทิตนี้ผมมีสอบที่จุฬา ไปสอบ CU-TEP เก็บไว้สอบต่อโทรเดือนมกรา แฮ่ๆๆ ป.ตรียังจะไม่จบหวังจุฬา
ผมจะพยายามครับบบ

ข้อ 1 พอไหวครับ สำหรับ F5 ใช้ 5 X $2^7$ บ-1 (mod641) ยกกำลังสี่ ครับ
พอข้อ 2 ไม่รู้จะไปทางไหนดีครับพี่ หรือจะเขียน n=32q+r เมื่อ 0ฃ r<32 แล้วก็พิสูจน์ ว่า r = 0แต่ก็ไปไม่รอด ครับ แนะด้วยครับ

First, try to prove that for each integer $r,\, 1\le r\le31$, the number $2^r+1$ is divisible by some $F_k,\, 0\le k\le4$. Do not use exhaustive calculation; there is a better way.

ข้อ 2. ผมทำตามที่พี่แนะนำ แต่ผมไม่เข้าใจครับว่า ผมพิสูจน์ได้ว่า
ถ้า 1ฃ r ฃ 31 แล้ว $2^r$+1บ 0 (mod $F_k$) บาง 0ฃ k ฃ 4 มันจะเกี่ยวข้องกับข้างต้นที่พิสูจน์ยังไงครับ

.................ผมเข้าใจแล้วครับพี่.......................
ข้อ2. ผมเริ่มยังงี้ครับ
พิสูจน์ :
สมมติ h.$2^n$ +1 เป็นจำนวนเฉพาะ
ให้ n = 32q+r บางจำนวนเต็ม r ที่ 0 ฃ r ฃ 31
สมมติ r น 0 \ 1 ฃ r ฃ 31
จาก hบ 1 (mod $F_5$ -2 )
ดังนั้น h.$2^ n$ +1 บ $2^n$ +1 (mod $F_5$ -2 )
บ $2^{32q+r}$+1 (mod $F_5$ -2 )
บ $2^r$ +1 (mod $F_5$ -2 )
นั่นคือ h.$2^ n$ +1 =( $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+($2^r$ +1) ...........................(*)
คาดว่า
"สำหรับ 1 ฃ r ฃ 31 แล้ว $2^r$+1 บ 0 (mod $F_k$) บางจำนวนเต็ม k ที่ 0 ฃ k ฃ 4 "
กรณี r= 2t +1 เมื่อ t = 0,1,...,15
จะได้ $2^r$+1 บ $2^{ 2t+1}$ +1 (mod $F_0$)
บ $2^{ 2t+1}$ +1 (mod $F_0$)
บ $2^1$ +1 (mod$F_0$)
บ 0 (mod $F_0$)

ดังนั้น $2^r$+1 = $F_0$.w บาง w เป็นจำนวนเต็ม
จาก (*) จะได้ h.$2^ n$ +1 =( $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+($2^r$ +1)
=( $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+($F_0$.w)
=[$F_0$].[( $F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+w]
ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง กับ h.$2^ n$ +1 เป็นจำนวนเฉพาะ

กรณี อื่นๆ ก็เหมือนกันครับ
ดังนั้น 32 l n
ขอบคุณครับ
.................................................................../////..................................
ข้อ3 แนะนำหน่อยครับ แฮ่ๆๆๆ
***ผมขอถามล่วงหน้าไปเลยนะครับว่า ถ้าพิสูจน์ได้ทั้ง 3 ข้อแล้ว นี่เพียงพอกับการที่จะแสดงว่า มีจำวนว Sierpinski numberที่เป็นจำนวนประกอบ เป็นอนันต์ แล้วเหรอครับพี่

สัมพันธ์กันอย่างงี้ครับ $$x\equiv y\pmod{mn} \quad \Rightarrow \quad x\equiv y\pmod m$$ ถ้าเขียนแทน $F_0F_1F_2F_3F_4$ ด้วย $F_5-2$ จะทำให้มองเห็นความสัมพันธ์อันนี้ได้ยากครับ

ส่วนเรื่องที่ผมให้พิสูจน์นั้น ให้เขียน $r$ ในรูป $s\cdot2^k$ โดยที่ $s$ เป็นจำนวนคี่ แล้วพิจารณา $2^r+1$ ดูอีกทีครับ