เพชรยอดมงกุฎ ยากพอสมควร
 

ช่วยกันหาคำตอบหน่อยนะครับ

มีต่อ

ต่ออีก

ข้อ 7
จาก $f(1-x)=-(1+x)$
จะได้ว่า $f(-2)=f(1-3)=-(1+3)=-4$ และ $f(5)=f(1-(-4))=-(1+(-4))=3$
$\therefore \,\,f(-2)+f(5)+7=-4+3+7=6$

ข้อ 5
จากสมการพาราโบลา คือ $y^2=8x$ เราจะได้ว่า เป็นพาราโบลาตะแคงขวา จุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด
และความยาวโฟกัส $c=2$ ดังนั้นจุดโฟกัสคือ $(2,0)$
และจาก$\overline{PQ}$ ขนานกับ $y=2\sqrt{2}x+1$ จะได้ความชันของ $\overline{PQ}=2\sqrt{2}$ และ $\overline{PQ}$ ผ่านจุดโฟกัส
ดังนั้นจะได้สมการเส้นตรงของ $\overline{PQ}$ คือ $y=2\sqrt{2}(x-2)$
ต่อไปหาจุดตัดระหว่าง สมการพาราโบลากับ เส้นตรง $\overline{PQ}$
แทน $y=2\sqrt{2}(x-2)$ ในสมการพาราโบลา จะได้
$\begin{array}{rcl}
(2\sqrt{2}(x-2))^2 &=& 8x\\
8(x^2-4x+4) &=& 8x\\
x^2-5x+4&=&0\\
(x-4)(x-1)&=&0
\end{array}$
ดังนั้น $x=1,4$ นำไปแทนใน สมการพาราโบลา เพื่อหาค่า y จะได้ $(1,\pm 2\sqrt{2})$ และ $(4,\pm 4\sqrt{2})$ แต่ $\overline{PQ}$ ต้องผ่านจุดโฟกัส ดังนั้น
$P=(1, 2\sqrt{2}) \,\, Q=(4,-4\sqrt{2})$ หรือ $P=(1,-2\sqrt{2}) \,\, Q=(4,4\sqrt{2})$
แต่ ความชันเป็น $2\sqrt{2}$ ดังนั้นจะได้ $P=(1,-2\sqrt{2}) \,\, Q=(4,4\sqrt{2})$
และหา $|\overline{PQ}|=\sqrt{(1-4)^2+(-2\sqrt{2}-4\sqrt{2})^2}=\sqrt{81}=9$

ข้อสอบไม่ยากมาก แต่อย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเอง หากสงสัยวิธีทำถามได้ครับ

1. 4
2. 44
3. m=1, n=-1, m+n=0
4. 60
5. 9
6. $\mathbb{R}-\{6,\frac{1}{2}\}$
7. 6
8. 5236
9. 0
10. 5
11. 3

ข้อ 9
จาก
$\begin{array}{rcl}
(\sin\frac{\pi}{6})^{4x}&=&(\sqrt[5]{2^{30}})(\sec^2\frac{\pi}{3})\\
\left(\frac{1}{2} \right)^{4x} &=& 2^6.2^2\\
2^{-4x} &=& 2^8\\
-4x &=& 8\\
x &=& -2
\end{array}$
ดังนั้น $x^3-4x=(-2)^3-4(-2)=0$

ข้อ 6
หา $R_{f.g}$
พิจารณา
$\begin{array}{rcl}
f(x).g(x) &=& \frac{6x}{x+1}.\frac{x+1}{2x+1}\\
y &=& \frac{6x}{2x+1} \,\,\text{เมื่อ}\,x \not= -1\\
2yx+y &=& 6x\\
y &=& 6x-2yx \\
\frac{y}{6-2y}&=& x
\end{array}$
ดังนั้น $R_{f.g}=\mathbb{R}-\{3\}$
แต่จาก $f(x).g(x)=\frac{6x}{2x+1}$ เมื่อ $x\not= -1$ แต่ $f(-1).g(-1) = 6$
$\therefore R_{f.g}=\mathbb{R}-\{6,3 \}$

หมายเหตุ จะเห็นว่า เรนจ์ของ $f.g$ เป็น $\frac{1}{2}$ ได้ เมื่อ $x=\frac{1}{10}$

ข้อ 3
โดย division algorithm
42=28(1)+14 ..................*
28=14(2)+0

ดังนั้น (42,28)=14
และจาก (*) จะได้ว่า 42(1)+28(-1)=14
เพราะฉะนั้น m= -1 n=1 m+n= 0

ข้อ 4
เนื่องจาก $50=2\times 5\times 5$

ดังนั้น สมาชิกของ B แต่ละตัว ต้องมี 2 เป็นตัวประกอบ แต่ ไม่มีมี 5 เป็นตัวประกอบ
ให้ $C=\{x\in A | \,\,\,2|x \} $ คือเซตที่สมาชิกมี 2 เป็นตัวประกอบ
$E=\{x\in A |\,\, \,10|x \} $ คือ เซตที่สมาชิกมี 2 และ 5 เป็นตัวประกอบ

ดังนั้น $n(B)=n(C)-n(E)=75-15=60 $

ข้อ 10
ให้ $k=3^{\sqrt{x^2+x-2}}$
จะได้
$\begin{array}{rcl}
3k+ \frac{9}{k} &=& 28\\
3k^{2} -28k +9 &=& 0\\
(3k-1)(k-9) &=& 0
\end{array}$
ดังนั้น $k=\frac{1}{3},9$
จะได้ $3^{\sqrt{x^2+x-2}}=3^{-1}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{x^2+x-2}=-1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
และ
$\begin{array}{rcl}
3^{\sqrt{x^2+x-2}}&=&3^2\\
\sqrt{x^2+x-2}&=&2\\
x^2+x-2&=&4\\
x^2+x-6&=&0\\
(x+3)(x-2)&=&0
\end{array}$
$x=-3,2$ ตรวจสอบแล้วพบว่าใช้ได้ทั้งสองค่า ให้ $A=-3 \,\,B=2$
ดังนั้น $|A-B|=|-3-2|=5$

ข้ออื่นผมคิดได้เท่าคุณ nongtum แต่ข้อ 11 ไม่ทราบว่าคุณ nongtum คิดเลขผิดหรือเปล่าครับ ผมได้3ครับ

มีอีกข้อครับข้อ6 ครับผมได้ R-{6,1/2}ครับ

ตามไปแก้แล้ว หวังว่าจะไม่มีที่ผิด

ผมขอแก้ข้อ 6 ใหม่นะครับ
สำหรับ $D_{f.g}=D_f \cap D_g$ แต่ไม่จำเป็นที่ $R_{f.g}=R_f \cap R_g$