Warm Up for POSN Camp#2
 

มาเตรียมสอบสอวน. ค่าย ๒
- โพสต์โจทย์อะไรก็ได้เนื้อหาไม่เกินค่าย ๒ ครับ

มาเริ่มที่โจทย์คลาสสิกๆสักข้อ
ถ้า $a,b,c \in \mathbb{Z}$ และ $a+b+c=abc$ จงหา $a+b+c$ ทั้งหมดที่สอดคล้อง

0 เมื่อ a = 0 b = 0 c = 0
6 เมื่อ a = 1 b = 2 c = 3
-6 เมื่อ a = -1 b = -2 c = -3
หรือป่าวครับ ส่วนวิธีทำ ผมไม่รู้ครับ มั่วเลขเอา อยากรู้วิธีเหมือนกันครับ

$b+c=abc-a=a(bc-1)$

$a=\frac{b+c}{bc-1} $

เนื่องจาก a เป็นจำนวนเต็มดังนั้น

$\frac{b+c}{bc-1} $ ต้องเป็นจำนวนเต็ม และในกรณีที่ b+c เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์

$b+c\geqslant bc-1$

$b-bc\geqslant -c-1$

$b(1-c)\geqslant -(c+1)$

$b\leqslant \frac{c+1}{c-1} =1+\frac{2}{c-1} \leqslant 3$

ดังนั้น $b\leqslant 3$ และในทำนองเดียวกันจะได้ว่า

$c\leqslant 3$ ด้วย

แทน (b,c)=(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3)

(b,c)=(0,0) a=0

(b,c)=(0,1)=(1,0) a=-1

(b,c)=(0,2)=(2,0) a=-2

(b,c)=(0,3)=(3,0) a=-3

(b,c)=(1,2)=(2,1) a=3

(b,c)=(1,3)=(3,1) a=2

(b,c)=(2,3)=(3,2) a=-1



กรณี b+c เป็นจำนวนเต็มลบ

$b+c\leqslant bc-1$

$b-bc\leqslant -c-1$

$b(1-c)\leqslant -(c+1)$

$b\geqslant \frac{c+1}{c-1} =1+\frac{2}{c-1} \geqslant -1$

ดังนั้น $b\geqslant -1$ และในทำนองเดียวกันจะได้ว่า

$c\geqslant -1$ ด้วย

แทน (b,c)=(-1,-1) (-1,0) (0,-1)

(b,c)=(-1,0)=(0,-1) a=1

ดังนั้น a+b+c ทั้งหมดที่สอดคล้อง
คือ 0,6,4

:great::great::great:

คำตอบยังไม่ครบ เดี๋ยวแก้ก่อน

เอาคนละวิธีกับวิธีที่แล้วนะครับ แต่จะคล้ายๆกัน

$b+c=abc-a=a(bc-1)$

$a=\frac{b+c}{bc-1} $

ถ้า

$$\frac{b+c}{bc-1} =1$$
$$b+c=bc-1$$
$$c+1=bc-b=b(c-1)$$
$$b=\frac{c+1}{c-1} =1+\frac{2}{c-1}$$
เนื่องจาก b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น
$$\frac{2}{c-1}\in \mathbf{Z} $$
$$(c-1)\left|\,\right. 2$$
$$c=0,2,3,-1$$
$c=0,,,b=-1,,,a=1$
$c=2,,,b=3,,,a=1$
$c=3,,,b=2,,,a=1$
$c=-1,,,b=0,,,a=1$

ถ้า

$$\frac{b+c}{bc-1} =-1$$
$$b+c=1-bc$$
$$b(c+1)=1-c$$
$$b=\frac{1-c}{1+c}=-1-\frac{2}{1+c}$$
เนื่องจาก b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น
$$\frac{2}{c+1}\in \mathbf{Z} $$
$$(c+1)\left|\,\right. 2$$
$$c=0,1,-2,-3$$
$c=0,,,b=-1,,,a=1$
$c=1,,,b=0,,,a=-1$
$c=-2,,,b=-3,,,a=-1$
$c=-3,,,b=-2,,,a=-1$

เนื่องจาก a,b,c อยู่ระหว่าง -3 ถึง 3 และเป็นจำนวนที่สลับกันได้(เป็นเหมือน Cyclic)
หาก a,b,c มากกว่า 3 แล้วหละก็ b+c<bc-1 จะทำให้ a ไม่เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้นเหลือเพียง
a=b=c=0

a+b+c ที่เป็นไปได้คือ 0,6,-6

ปล.จากวิธีที่แล้ว มีคำตอบ -4 แทนผิดครับ

วิธีที่สองแทน เฉพาะกรณี $a = \pm 1$ เหรอครับ ส่วนวิธีแรกก็ยังแทนค่า $(b,c)$ ไม่ครบนะครับ
แต่คำตอบถูกแล้ว

2. ให้ $n=2^{31}\times 3^{19}$ มีจำนวนนับกี่จำนวนที่เป็นตัวประกอบของ $n^2$ ที่น้อยกว่า $n$ แต่ไม่เป็นตัวประกอบของ $n$

$n=2^{31}\cdot 3^{19}$



$3^{19}=2^n$

$19log3=xlog2$

$x=19\cdot (\frac{log3}{log2} )=30.1159468439 $

ดังนั้น $3^{19}=2^{30.1159468439}<2^{31}$

$2^{61}<2^{31}\cdot 3^{19}<2^{62}$



$2^{31}=3^y$

$31log2=ylog3$

$y=31\cdot (\frac{log2}{log3} )=19.5577447076$

ดังนั้น $2^{31}=3^{19.5577447076}<3^{20}$

$3^{38}<2^{31}\cdot 3^{19}<3^{39}$

ตัวประกอบดังกล่าวอยู่ในรูป

$2^a\cdot 3^b$

โดยที่ $a\in$ {32,33,...,61} ,$b\in$ {1,2,....,19}

หรือ $a\in$ {1,2,...,31} ,$b\in$ {20,21,...,38}



เมื่อ $a\in$ {32,33,...,61} ,$b\in$ {1,2,....,19}

จาก $\frac{log2}{log3} =0.63089499056>0.6$

(แสดงว่า เมื่อ 2 กำลังเพิ่มขึ้น 1 --- 3 กำลังลดลง 0.63089499056)

2 กำลังเพิ่มขึ้น w --- 3 กำลังลดลง $\left\lceil\,w(0.63089499056)\right\rceil $

เมื่อ

$$w=1;b={0,1,2,...,18}$$
$$w=2,3;b={0,1,2,...,17}$$
$$w=4;b={0,1,2,...,16}$$
$$w=5,6;b={0,1,2,...,15}$$
$$w=7;b={0,1,2,...,14}$$
$$w=8,9;b={0,1,2,...,13}$$
$$w=10,11;b={0,1,2,...,12}$$
$$w=12;b={0,1,2,...,11}$$
$$w=13,14;b={0,1,2,...,10}$$
$$w=15;b={0,1,2,...,9}$$
$$w=16,17;b={0,1,2,...,8}$$
$$w=18,19;b={0,1,2,...,7}$$
$$w=20;b={0,1,2,...,6}$$
$$w=21,22;b={0,1,2,...,5}$$
$$w=23;b={0,1,2,...,4}$$
$$w=24,25;b={0,1,2,3}$$
$$w=26;b={0,1,2}$$
$$w=27,28;b={0,1}$$
$$w=29,30;b={0}$$

มีทั้งสิ้น 190+10=200 จำนวน

เมื่อ $a\in$ {1,2,...,31} ,$b\in$ {20,21,...,38}

จาก $\frac{log3}{log2} =1.58504983389>1.5$

(แสดงว่า เมื่อ 3 กำลังเพิ่มขึ้น 1 --- 2 กำลังลดลง 1.58504983389)

3 กำลังเพิ่มขึ้น z --- 2 กำลังลดลง $\left\lceil\,z(1.58504983389)\right\rceil $

$$z=1;a={0,1,2,...,28}$$(29)
$$z=2;a={0,1,2,...,27}$$(28)
$$z=3;a={0,1,2,...,25}$$(26)
$$z=4;a={0,1,2,...,23}$$(24)
$$z=5;a={0,1,2,...,22}$$(23)
$$z=6;a={0,1,2,...,20}$$(21)
$$z=7;a={0,1,2,...,18}$$(19)
$$z=8;a={0,1,2,...,17}$$(18)
$$z=9;a={0,1,2,...,15}$$(16)
$$z=10;a={0,1,2,...,14}$$(15)
$$z=11;a={0,1,2,...,12}$$(13)
$$z=12;a={0,1,2,...,10}$$(11)
$$z=13;a={0,1,2,...,9}$$(10)
$$z=14;a={0,1,2,...,7}$$(8)
$$z=15;a={0,1,2,...,6}$$(7)
$$z=16;a={0,1,2,...,4}$$(5)
$$z=17;a={0,1,2,3}$$(4)
$$z=18;a={0,1}$$(2)
$$z=19;a={0}$$(1)

มีทั้งสิ้น 280 จำนวน

รวมได้ 480 จำนวน

3.ให้ $x,y,z$เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$\dfrac{x^2}{(4x-3y-z)^2} +\dfrac{y^2}{(4y-3z-x)^2}+\dfrac{z^2}{(4z-3x-y)^2}$

ผมว่ามันเกินค่ายสองนะครับ

ค่าต่ำสุดอยู่ที่ $\dfrac{10}{169}$

ปล. ถ้ามีคนเฉลยแล้วลองเฉลยวิธีคุณมาด้วยนะครับ

ทำไม่เป็นครับ:haha:

เคยเฉลยไว้ให้นานแล้วที่นี่

http://www.mathcenter.net/forum/show...5&postcount=10

@ คุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o เป็นวิธีทำที่เว่อร์จริงๆครับ นับขาดไปประมาณร้อยกว่าตัว

ไม่แน่ใจนะครับ

$2^{62} \cdot 3^{38} = (2^a \cdot 3^b)\times (2^{62-a} \cdot 3^{38-b})$

ฉะนั้นต้องมี 1 วงเล็บที่มีค่าน้อยกว่า n ดังนั้นมีจำนวนนั้นทั้งหมด $\dfrac{63 \cdot 39-1}{2}=1228$

จำนวนที่น้อยกว่าที่หาร จำนวนที่หาร n ลงตัวและน้อยกว่า n มี $32 \cdot 20 -1 =639$

มีจำนวนนั้นอยู่ $1228-639=589$

(ตอนแรกมองโจทย์แว็บผมก็คิดแบบคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o แหละครับ)

:great::great: ถูกแล้วครับ ใครมีโจทย์เจ๋งๆก็โพสต์โจทย์ต่อเลยครับ