ช่วยคิดข้อนี้ด้วยครับ คิดมาหลายวันแล้วยังไม่ออกเลยครับ
1.) กำหนดให้ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ เป็นคำตอบของระบบสมการ
$$x^3-3xy^2=1999$$ $$y^3-3x^2y=1998$$ จงหาค่าของ $$\frac{1}{(1 - \frac{x_1}{y_1})(1 - \frac{x_2}{y_2})(1 - \frac{x_3}{y_3})}$$ **โจทย์ไม่ได้ผิดนะครับ นี่เป็นโจทย์ IMC รอบประเทศปี 2550 ครับ 2.) ถ้ากำหนดระบบสมการ $$10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0$$ $$3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0$$ แล้วจงหาค่าของ $$x^3+y^3$$ 3.) ถ้ากำหนดระบบสมการ $$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=96$$ $$a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2=144$$ $$a_1^3+a_2^3+a_3^3+\cdots+a_n^3=216$$ เมื่อ $a_i$เป็นจำนวนจริงบวกสำหรับทุก $i=1, 2, 3,\cdots$ แล้วจงหาค่าของ$$a_1^4+a_2^4+a_3^4+\cdots+a_n^4$$ |
ทำไมไม่มีคนมาช่วยตอบเลยอ่ะครับ คนเก่งๆในบอร์ดนี้ไม่อยู่เลยเหรอเนี่ยครับ
|
เล่นเว็บบอร์ดต้องใจเย็นๆนะครับ :cool: ทุกคนก็มีงานส่วนตัวกันทั้งนั้น อย่างที่ผมเคยเขียนไว้ในกระทู้คำแนะนำในการใช้เว็บบอร์ด ว่าถ้าเรามีเวลาก็ควรจะทำตัวเป็นนายแพทย์บ้าง :wub: เพราะถ้าทุกคนถามเป็นอย่างเดียว :nooo: แต่ไม่ใคร่จะตอบคำถามอื่น ก็จะไม่มีแรงกระตุ้นให้คนอื่นอยากคิดหรือตอบ เพราะการคิดหรือพิมพ์คำตอบนี่ต้องใช้เวลาทั้งนั้น นี่ไม่ได้เจาะจงใครคนใดคนหนึ่งนะครับ ;)
กลับมาที่คำถาม ข้อ 1 : ผมลองคิดให้อย่างคร่าวๆที่สุด ยังไม่ได้ตรวจคำตอบ คุณ Psychoror หรือท่านใดที่คิดแล้วฝากตรวจสอบให้ด้วยละกันครับ :rolleyes: จับสมการแรกหารด้วยสมการที่สองจะได้ $$\frac{x}{y}(\frac{\frac{x^2}{y^2} - 3}{1 - 3\frac{x^2}{y^2}}) = \frac{1999}{1998} = r \quad (*) $$ สมมติให้ $$z = 1 - \frac{x}{y} \iff \frac{x}{y} = 1 - z$$ แทนลงใน (*) แล้วจัดรูปจะได้ $$z^3 - (3+3r)z^2 + 6rz - 2r + 2 =0$$ ดังนั้นโดย Vieta's Relation จะได้ $$z_1z_2z_3 = 2r - 2 = \frac{2}{1998}$$ ดังนั้นที่ต้องการคือ $\frac{1998}{2} = 999$ :great: |
ขอบคุณท่าน Gon มากๆๆๆครับ แล้วกรุณาช่วย ข้อ 2 กับ 3 ด้วยครับขอบคุณมากๆครับ
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$$10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0$$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
หลังจากหมดสติไปช่วงหนึ่งที่เห็นสมการกำลังสามสองตัวแปรในข้อ 2 :blood: เมื่อแก้โจทย์แล้วก็ค่อยยังชั่วครับ
ข้อ 2. กำจัดพจน์ $xy$ โดยคูณสมการแรกด้วย 5 และคูณสมการหลังด้วย 2 แล้วบวกกันจะได้สมการที่สมมูลกับ $$0=8x^2+3y^2-32x-6y+35=8(x-2)^2+3(y-1)^2$$พิจารณาในระบบจำนวนจริง จะได้ว่าสมการเป็นจริง เมื่อ $x-2=0$ และ $y-1=0$ นั่นคือ $x=2,y=1$ จึงได้ $x^3+y^3=9$ (ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ผมก็ไปไม่ถูกล่ะครับ :aah: ) ข้อนี้วัดกันที่ความกล้าที่จะคิดเลขเยอะๆ ครับ :died: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:56 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha