One Equals Zero
 

พิจารณา การหาค่า

๓ ๔ ๕

1 x

dx โดยใช้วิธี By Parts

ให้ u = 1/x	dv = dx
du = - 1/x2 dx	v = x

จะได้ว่า

๓ ๔ ๕

1 x

dx =

ๆ ็ ่

1 x

๖ ๚ ๘

x -

๓ ๔ ๕

x

ๆ ็ ่

-

1 x2

๖ ๚ ๘

dx

๓ ๔ ๕

1 x

dx =

1 +

๓ ๔ ๕

1 x

dx

นั่นคือ 1 = 0


------------------------------
คุณรู้หรือไม่ว่า
การแก้สมการ x^xx3 = 3 มีความง่ายพอๆกับการแก้สมการ x³ = 3

ผมคิดว่าจริงๆ แล้ว ตอนอินทิเกรต ๒ v du จะต้องมีค่าคงที่ C ออกมาด้วย แต่ของพี่ไม่มี ก็เลยทำให้ 1 = 0

ใช่แล้วครับ ผิดตรงบรรทัดที่บอกว่า 1 = 0 และเกี่ยวข้องกับค่า C

โดยปกติ ในสมการที่ยังติดอยู่ในรูปของอินทิกรัล เราสามารถละการเติม C ได้ เนื่องจากเราถือว่า เมื่อหาค่าอินทิกรัลเสร็จแล้วจะมีการเพิ่ม C เข้ามาอยู่ดี แต่สำหรับปัญหาข้อนี้ หลังจากที่เรากำหนดให้ ๒f(x) dx - ๒f(x) dx = 0 ก็จะทำให้ไม่เหลืออินทิกรัลทิ้งไว้ ในตอนท้ายสุดเราจึงมักจะลืมเพิ่ม C เข้ามา

ลองพิจารณาค่าของ ๒f(x) dx - ๒f(x) dx
= ๒( f(x) - f(x) ) dx = ๒0 dx = 0 + C = C
โดยที่ C เป็นตัวบอกความแตกต่าง ระหว่างค่าคงที่ที่เกิดขึ้น ในอินทิกรัลตัวแรก และตัวที่สองของสมการ

ดังนั้นสำหรับปัญหาข้อนี้ เราจึงได้ข้อสรุปว่า

๓ ๔ ๕

1 x

dx ที่อยู่ทางซ้ายมือและทางขวามือ ให้ผลลัพธ์ออกมาไม่เท่ากัน

โดยมีผลต่างของค่าคงที่(C) เป็น 1 เมื่อนำผลที่ได้ไปแทนจะได้วิธีการที่ถูกต้องดังนี้

๓ ๔ ๕

1 x

dx =

1 +

๓ ๔ ๕

1 x

dx

๓ ๔ ๕

1 x

dx -

๓ ๔ ๕

1 x

dx = 1

C = 1

ที่คุณ Top บอกว่า ๒1/x dx ของข้างซ้ายและข้างขวาไม่เท่ากัน โดยค่า C ที่ออกมา มีผลต่างกันเท่ากับ 1 นั้น เป็นความเข้าใจผิดครับ
เพราะการอินทิเกรตนั้น ถ้าหากว่าเป็นอินทิเกรตไม่จำกัดขอบเขตตัวเดียวกัน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมเท่ากันทุกประการ เพราะเป็นฟังก์ชั่นอย่างเดียวกัน

แต่ว่าสาเหตุที่ทำให้ 1 = 0 ในกรณีนี้ เกิดจากที่มาของสูตรอินทิเกรต บายพาร์ท ต่างหาก ที่ว่า
[f(x)g(x)]' = f(x)g'(x) + f'(x)g(x).

อินทิเกรต ทั้งสองข้าง จะได้

f(x)g(x) =๒ f(x)g'(x) dx + ๒f'(x)g(x) dx. + C

จัดรูปได้

๒ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x)- ๒f'(x)g(x) dx +C

ซึ่งตั้งแต่ตรงนี้ จะเห็นว่ามี ค่าคงที่เกิดขึ้นหนึ่งครั้ง แต่สาเหตุที่สูตรทั่วไปละไว้นั้น ก็เป็นเพราะว่าการอินทิเกรตต่อไป จะต้องมีค่าคงที่เกิดขึ้นอีกอยู่ดี จึงละไว้ในฐานที่เข้าใจ

แต่ในกรณีนี้ ค่าคงที่ที่เราลืมไปตัวนี้ นี่แหละที่เป็นปัญหา จนทำให้เกิดความสับสน และคิดว่า๒1/x dx -๒1/x dx = 1 เนื่องจากค่า C ไม่เท่ากัน ซึ่งจริงๆแล้ว คือ
๒1/x dx -๒1/x dx + C = 1
ครับ

คือผมมองว่า ตราบใดก็ตามที่เรายังไม่ได้ปลดเครื่องหมายอินทิเกรตออกจนหมด เครื่องหมายอินทิเกรต ตัวที่เหลือนั้นได้รวมตัว C ของอินทิกรัลอื่นๆ ไว้เรียบร้อยแล้วครับ นั่นคือ
หาก F'(x) = f(x) , G'(x) = g(x) , H'(x) = h(x)
จะได้ว่า ๒f(x) dx + ๒ g(x) dx + ๒ h(x) dx
= ๒ f(x) dx + G(x) + H(x)
= F(x) + ๒ g(x) dx + H(x)
= F(x) + G(x) + ๒ h(x) dx
= F(x) + G(x) + H(x) + C

นอกจากนี้ ๒ f(x) dx - ๒ f(x) dx
= ๒ ( f(x) - f(x) ) dx = ๒ 0 dx = 0 + C = C เนื่องจากผลต่างของมันเป็นค่าคงที่ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ จึงไม่สามารถสรุปได้ว่าค่าอินทิกรัลเท่ากัน เพราะถ้าเท่ากัน จะได้ผลต่างเป็นศูนย์ (นี่เป็นการตีความ จากผลลัพธ์สุดท้ายที่ได้)

และจาก ๒ 1/x dx - ๒ 1/x dx + C = 1
ผมมองเป็น ๒ 1/x dx - ๒ 1/x dx = 1 - C = C₁ นั่นเอง

ดังนั้นผมมองว่า ๒ u dv = uv - ๒ v du ได้โดยไม่จำเป็นต้องเพิ่ม C เข้ามาในสมการนี้ เพราะมันได้รวมไปกับอินทิกรัลตัวอื่นแล้ว และขั้นตอนสำคัญคือ ตอนที่เราปลดอินทิกรัลตัวสุดท้ายออกมา อย่าลืมนำ C กลับเข้ามาด้วย ก็แล้วแต่มุมมองของแต่ละคนครับ :)