จำนวนเชิงซ้อนครับๆ
 

$1.จงหาเซตคำตอบของ $
$1)x^4-x^3+7x^2-9x-18 = 0$
$2)x^5+8x^4+24x^3+26x^2-17x-42 = 0$

$2.จงแสดงว่า -1+\sqrt{3}i เป็นคำตอบของสมการ x^5+9x^3-8x^2-72 = 0$
$พร้อมทั้งหาคำตอบของสมการทั้งหมดที่เหลือ $

$3.จงหาสมการพหุนามดีกรี 5 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมี $ $ \frac{-2}{3} , -1+i , 3+\sqrt{3}i$
$เป็นคำตอบของสมการ$

1.$x^4-x^3+7x^2-9x-18=(x^4+7x^2-18)-x^3-9x=(x^2-2)(x^2+9)-x(x^2+9)=(x^2+9)(x^2-x-4)=0$
ข้อ 1.2 ก็ทำแบบเดียวกัน
ข้อ 2,3 ใช้ความรู้ที่ว่า ให้ สัมประสิทธิ์ของพหุนาม $P(x)$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $z$ เป็นรากของ $P(x)=0$ จะได้ว่า $\overline{z} $ เป็นรากของ $P(x)=0$ ด้วย

3.มี $-\frac{2}{3},\;-1+i,\;-1-i,\;3+\sqrt{3},\;3-\sqrt{3}$ เป็นคำตอบของสมการ (ถ้า$\;z\;$เป็นคำตอบของสมการแล้ว$\;\bar z\;$เป็นคำตอบของสมการด้วย)
จะได้ว่า
$$
\begin{array}{rcl}
(x+\frac{2}{3})(x+1-i)(x+1+i)(x-3-\sqrt{3}i)(x-3+\sqrt{3}i)&=&0\\
&\vdots \\
x^5 - 2x^4 - 6x^3 + 16x^2 + 48x + 48&=&0
\end{array}
$$

ขอบคุณมากๆครับ (1.2 จับคู่แยกได้ป่าวครับ)

ข้อ 1.2) $x^5+8x^4+24x^3+26x^2-17x-42 = (x-1)(x+2)(x+3)(x^2+4x+7)=0$

ขอบคุณมากครับพี่
แล้วเราจะมีวิธีดูยังไงหรอครับว่าสมการไหนแยกได้สมการไหนแยกไม่ได้

ทฤษฏีบทตัวประกอบตรรกยะอ่ะ

แทน P(c) ที่ c เป็นตัวประกอบของ 42 อ่ะ

แล้วก็แยกตัวประกอบเอา :)