calculus ช่วยคิดเล่นๆ
 

f(n)=$\sum_{n = 1}^{\infty} (n+1)^9-\sum_{n = 1}^{\infty} n^9
$จงหา $\sqrt{f'(-3)} $

ผมว่าโจทย์มันแหม่งๆ นะครับเนี่ย f ขึ้นกับ n แต่ฝั่งขวามันรวม n ไปหายหมด แปลได้ว่า $f'(n)=0$ ???

งั้นขอตอบเล่นๆ ดูนะครับ

f(n)=1?????

ขออภัยครับ ผิดจริงๆด้วย
$f(n)=\Sigma _{k=1}^{n}{(k+1)^9}-\Sigma _{k=1}^{n}{k^9}$
ให้หา $\sqrt{f'(-3)}$

ฝากอีกข้อนะครับ
ให้$f(n)=\lim_{n \to \infty}\Sigma _{k=1}^{n}\frac{k}{(n+1)^k} $
หา $f'(1)$

(ท่านจอมยุทย์โปรดชี้แนะด้วย)

ช่วยนิยาม $f'$ ให้ดูหน่อยครับ ว่าหมายถึงอะไร

ขออนุญาตคั่นด้วยโฆษณาก่อนเข้าถึงฉากสำคัญ :laugh:

คำถามและเฉลยข้อนี้มีอยู่ในนิตยสาร MY MATHS ฉบับล่าสุด เดือนนี้ครับ
(จดหมายจากผู้อ่าน) หาซื้อได้ที่ร้านหนังสือดอกหญ้าและซีเอ็ด และื่อื่น ๆ

Hint :
$(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} +\frac{1}{(n+1)^3 + ... } )+$
$(\frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} +\frac{1}{(n+1)^4 + ... } )+$
$(\frac{1}{(n+1)^3} + \frac{1}{(n+1)^4} +\frac{1}{(n+1)^5 + ... } )+...$

จากนั้นพิจารณาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ :great:

นั่นสินะ ถ้าดูตามความหมายของอนุพันธ์แล้ว ไม่น่าจะหาคำตอบได้สักข้อ
เพราะฟังก์ชันที่กำหนดให้ไม่ต่อเนื่องเลย

ลืมบอกไป ในหนังสือที่ว่า มีแต่เฉพาะส่วนของลิมิตนะครับ ส่วนอนุพันธ์จะหาได้หรือไม่ ตรงนี้ผมก็ไม่รู้เหมือนกัน ตอนนี้ไม่แม่นนิยาม :cool:

ผมขอฝากด้วยครับ(คิดไม่ออกเลย)
1.ให้ $f(x)=x^3+kx^2+cx+7$
ถ้าหารด้วย $x^2-3x+2$ เหลือเศษ 5x-3 จงหา $\lim_{h \to \infty} \frac{f(2-h)-f(2)}{h} $

2.จงหาค่าของ $\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+.......+n\binom{n}{n}$

3.ให้ $z=x+yi$ โดยที่ $(z+i)(\bar z-i)=1$ จงหาค่ามากที่สุดของ$\left|\, z \right| $

ใบ้ให้นะครับ
ข้อ 1. โดยขั้นตอนวิธีการหารจะได้ว่า $f(x) = (x^2-3x+2)q(x) + 5x-3$ และ $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2-h)-f(2)}{h} = -f'(2)$


ข้อ 2. ใช้ทฤษฎีบททวินามกระจาย $(1+x)^n$ และหาอนุพันธ์ 1 ครั้ง

ข้อ 3. สังเกตว่า $(z+i)(\overline{z}-i) = |z-i| = 1$
แทน $z=x+yi$ จะได้ว่ามันคือสมการวงกลม รัศมี 1 หน่วยที่มีศูนย์กลางที่ $(0,1)$ลองคิดต่อจะได้ $|z|$ ที่มากที่สุดคือ $\sqrt{2}$

โจทย์เป็นอย่างนี้ไม่ใช่หรือครับ $\lim_{h \rightarrow \infty }$ $\frac{f(2-h)-f(2)}{h} $ แต่ผมก็เห็นด้วยว่าโจทย์น่าจะเป็นแบบเดียวกันกับคุณ M@gpie

ส่วนข้อ 2 ให้อีกวิธีเผื่อไว้พิจารณา
ต้องรู้ว่า $k\binom{n}{k} =n\binom{n-1}{k-1}$
ดังนั้น
$\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+.......+n\binom{n}{n}$
$=n\binom{n-1}{0}+n\binom{n-1}{1}+n\binom{n-1}{2}+.......+n\binom{n-1}{n-1}$
$=n[\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-1}{2}+.......+\binom{n-1}{n-1}]$