nice Functional Equation
find $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ that satisfies $\displaystyle f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y)$
it's clear that $f(f(x))=4x$ notice that $f$ is injective $\rightarrow f(4x)=4f(x)$ therefore, $f(0)=0$ and we see that $f(xf(x))=2xf(x)\therefore 4=f(f(1))=2f(1)\rightarrow f(1)=2$ consider that $f(2)=f(f(1))=4$ And then we replace $P(x,1-x)$ we get $f\Big(2(1-x)+f(x)\Big)=f\Big((1-x)f(1)+f(x)\Big)=4x+2(1-x)f(1)=4x+2(1-x)2=4=f(2)$ since $f$ is injective so $2-2x+f(x)=2\Longrightarrow f(x)=2x$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:31 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha