โจทย์จัดหมู่สิ่งของอย่างน้อย 1 สิ่ง
 

โจทย์ประมาณว่า
มีชาย 5 หญิง 3 จะเลือกได้ชายอย่างน้อย 1 คน
ทำอย่างไรครับช่วยแนะหน่อยครับ
ผมงงคอมบิมากๆ(ไปซื้อหนังสือมาอ่านเองแล้วไม่เข้าใจ)

โจทย์ไม่สมบูรณ์นะครับ เพราะไม่ได้บอกว่าต้องการเลือกกี่คน

ถ้าจะให้สมบูรณ์ ต้องเปลี่ยนเป็น มีชาย 5 คน เลือกชายอย่างน้อย 1 คนทำได้กี่วิธี

โดยทั่วไป ถ้าคิดโดยตรงคือแ่บ่งเป็น กรณี ๆ ไป

กรณีที่ 1, เลือกชาย 1 คน ทำได้ C(5,1)
กรณีที่ 2, เลือกชาย 2 คน ทำได้ C(5,2)
กรณีที่ 3, เลือกชาย 3 คน ทำได้ C(5,3)
กรณีที่ 4, เลือกชาย 4 คน ทำได้ C(5,4)
กรณีที่ 5, เลือกชาย 5 คน ทำได้ C(5,5)

ดังนั้นเลือกได้ C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5) = 5+10+10+5+1 = 31

แต่ึิคิดแบบนี้ช้า การคิดโดยอ้อมจะทำได้เร็วกว่า เพราะถ้ามีคน 5 คน จะเลือกได้ 6 กรณีคือ เลือก 0 คน (ไม่เลือกเลย) , เลือก 1 คน, ... , เลือก 5 คน

ดังนั้นการคิดโดยอ้อมคือ คิดว่า เลือกโดยไม่มีเงื่อนไขใด ๆ จากนั้นนำไปลบด้วย กรณีที่ เลือก 0 คน ก็จะเป็นการเลือกอย่างน้อย 1 คน

ถ้าเลือกโดยไม่มีเงื่อนไข ทำได้ (2)(2)(2)(2)(2) = 32 วิธี

(มี 5 ขั้นตอนย่อยคือ คนที่ 1 เลือกหรือไม่เลือก ทำได้ 2 วิธี คนที่เหลือก็ทำได้คนละ 2 วิธีเช่นเดียวกันครับ)

เลือก 0 คน ทำได้ 1 วิธี คือ ไม่เลือกเลย

ดังนั้นนับโดยอ้อมทำได้ 32 - 1 = 31 วิธี

หมายเหตุ เราจะมีเอกลักษณ์ C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = $2^n$ ซึ่งอาจพิสูจน์ในทางพีชคณิตจากทฤษฎีบททวินาม $(a+b)^n = ...$ โดยการแทนค่า a = b = 1 ลงไปครับ.

แต่โจทย์บอกว่าเลือกชายอย่างน้อยหนึ่งคนแต่ก็อาจเลือกหญิงได้ด้วยนะครับ
แล้วหญิงก็อาจจะเลือก 1 คน 2 คน 3คน หรืออาจไม่เลือกเลยก็ได้ไม่ใช่หรือครับ

โอเค ถ้าคิดต่ออย่างนั้นก็ได้ครับ ผู้หญิงเลือกหรือไม่เลือกทำได้ $2^3$ วิธี

จากนั้นนำไปคูณกับจำนวนวิธีของผู้ชายเป็น

$(2^5-1)(2^3)$

นั่นแหละครับ
ปัญหาคือจะให้เลือกทั้งหมดกี่คนครับ ถ้ารวมชายกับหญิงก็เป็น 8 คน
ถ้าต้องการเลือก1 คนให้ได้ชายอย่างน้อย 1 คน ก็ได้ 5 วิธี(มีชาย 5 คน)
ถ้าต้องการเลือก2 คนให้ได้ชายอย่างน้อย 1 คน ก็ได้ 35 วิธี(เลือกชายก่อน 1คน ได้ 5 วิธีแล้วอีกคนเป็นชายหรือหญิงก็ได้ มีเหลือ 7 คนได้ 7 วิธี กฎการคูณได้5x7=35)
แบบนี้แล้วก็คิดไปเรื่อยๆครับ(เพราะไม่รู้ว่าจะเลือกกี่คน)
จะได้ $5+5(_7C_1)+5(_7C_2)+...+5(_7C_7)=5(1+7+21+35+35+21+7+1)=740$

ครับขอบคุณมากครับเข้าใจแล้วครับ

ไม่ครับคือว่าโจทย์สุ่มเลือก
แต่มีข้อแม้ว่าจะต้องได้ชายอย่างน้อยหนึ่งคนซึ่งก็คือ$2^5-1$
แต่อาจมีผู้หญิงมาด้วยก็ได้เพราะได้ชายอย่างน้อยหนึ่งคนแล้วซึ่งทำได้ $2^3$
เพราะฉนั้นทำได้$(2^5-1)(2^3)$
ตามที่คุณ★★★☆☆ ตอบครับ

ครับผม ขอบคุณที่ชี้แจงครับ
ไม่ค่อยถนัดเรื่อง combi สักเท่าไหร่เลยอ่ะ
แบบโจทย์มันทำไมตีความยากจัง:haha: