|
PMWC 2012 ...Po Leung Kuk 15th
|
 ๑.ในถุงใบหนึ่งมีแต่ลูกบอลสีขาวกับสีแดงเท่านั้น ทอมหยิบลูกบอลขึ้นมาหนึ่งลูก แล้วมองไปในถุงแล้วบอกว่า ๕ใน๗ของลูกบอลที่เหลือเป็นลูกบอลสีขาว จากนั้นทอมก็ใส่ลูกบอลคืนลงในถุงใบนี้ มาชาหยิบลูกบอลออกมาจำนวนหนึ่ง(one of the balls)แล้วมองไปในถุงและบอกว่า ๑๒ใน๑๗ของลูกบอลที่เหลือเป็นลูกบอลสีขาว แรกเริ่มนั้นมีลูกบอลทั้งหมดกี่ลูก  ๒.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดที่หารด้วย $4$ และ $9$ ลงตัว และตัวเลขในแต่ละหลักประกอบด้วยเลข $4$ และ $9$ เท่า่นั้นซึ่งมีอย่างน้อยเลขละหนึ่งตัว จงหาเลขสี่หลักท้ายสุดของ $n$  ๓.จากรูปนี้ เส้นตรง $l$ ตัดแบ่งรูปที่เกิดจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเจ็ดรูปมาต่อกัน แบ่งเป็นสองส่วนที่มีพื้นที่เท่ากัน.ให้ $E$ เป็นจุดตัดของ $l$ บน $AB$ และ ให้ $F$ เป็นจุดตัดของ $l$ บน $CD$.ถ้าผลรวมของความยาวของ $AE$ และ $CF$ เท่ากับ $91$ ซม. จงหาว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละอันในหน่วยของตารางเซนติเมตร |
 ๔.เลือกตัวเลขแปดตัวจากทั้งหมดเก้าตัวซึ่งได้แก่ $2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010,2011$ และ $2012$ มาเขียนบนจุดยอดของลูกบาศ์กตามรูปโดยใช้ตัวเลขหนึ่งค่าต่อจุดยอดหนึ่งจุด ถ้าผลบวกของตัวเลขสี่ตัวในแต่ละด้านของลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน จงหาว่ามีตัวเลขใดที่ไม่ถูกนำมาใช้เขียน  ๕.จากรูปที่กำหนดให้ สี่เหลี่ยมจัตตุรัส $ABCD$ มีคาวมยาว $2$ ซม. และ $E$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ , $F$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AD$ และ $G$ เป็นจุดบน $CF$ ที่ทำให้ $3CG=2GF$. จงหาพื้นที่แรเงาของสามเหลี่ยม $BEG$ ในหน่วยของตารางเซนติเมตร  ๖.ตามรูปที่กำหนดให้ จงหาค่าของ $\angle a+\angle b+\angle c+\angle d+\angle e+\angle g+\angle h$ ในหน่วยองศา |
 ๗.จงหาหลักหน่วยของ $N$  ๘.มีเลขสองหลักที่เมื่อนำผลคูณของเลขโดดในแต่ละหลักมาหารตัวมันเองแล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ $3$ และเหลือเศษเ่ท่ากับ $9$ แต่เมื่อนำผลคูณของเลขโดดในแต่ละหลักมาบวกกับกำลังสองของเลขโดดแต่ละหลักแล้วได้เลขสองหลักพอดี จงหาเลขสองหลักนี้  ๙.จากตารางที่กำหนดให้ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ของตัวเลขกับตัวอักษรในแต่ละแถว ในแถวลำดับที่ $1,000$ จะเป็นตัวอักษรและตัวเลขใด |
 ๑๐.ค่าเฉลี่ยของจำนวนทั้งหมด 20 จำนวน เท่ากับ $18$ เมื่อจำนวนแรกถูกเพิ่มอีก $2 $ ,จำนวนที่สองถูกเพิ่มอีก $4$ ,จำนวนที่สามถูกเพิ่มอีก $6$ ไปแบบนี้จนถึงจำนวนที่ยี่สิบซึ่งจะเพิ่มอีก $20$ นั่นคือจำนวนที่ $n$ จะเพิ่มอีก $2n$. จงหาค่าเฉลี่ยของจำนวนใหม่ทั้งยี่สิบจำนวน  ๑๑.ต้องการทาสีลงบนสี่เหลี่ยมแต่ละช่องตามรูปด้วยสีแดง,น้ำเงิน หรือเขียว โดยกำหนดให้สี่เหลี่ยมสองช่องที่ติดกันจะต้องมีสีต่างกัน จงหาว่ามีจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการทาสีรูปสี่เหลี่ยมนี้  ๑๒.จำนวนที่เรียกว่าจำนวน "PoLeungKuk" เป็นจำนวนที่มีเก้าหลัก และมีคุณสมบัติดังนี้ ๑๒.๑ เป็นผลคูณจากกำลังสองของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันสี่จำนวน โดยที่จำนวรเฉพาะแต่ละตัวนั้นมีค่าน้อยกว่า $50$ ๑๒.๒ เลขในสามหลักหน้าและเลขในสามหลักท้าย เหมือนกัน ๑๒.๓ ตัวเลขตรงกลางสามหลักมีค่าเป็นสามเท่าของตัวเลขในสามหลักแรก ๑๒.๔ จำนวน "PoLeungKuk" นี้มาค่าเกิน $300,000,000$ จงหาจำนวน "PoLeungKuk" |
 ๑๓.จากรูปที่ให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีจุด $O$ เป็นจุดภายในสี่เหลี่ยม ซึ่งมุม $\hat{BOC} $ เท่ากับ $90$ องศา, $OB$ ยาวเท่ากับ $4$ ซม.และ $OC$ ยาวเท่ากับ $7$ ซม. จงหาพื้นที่แรเงาของสามเหลี่ยม $AOB$ ในรูปของตารางเซนติเมตร  ๑๔.จากรูปข้างล่างนี้ จุดทั้งสี่จุดคือ $P,Q,R,S$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยที่ระยะทางระหว่างสองจุดใดๆต่างเป็นจำนวนเต็ม(บวก). $Q$ เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นตรง $PS$ และ $PQ\times PR\times PS\times QR\times QS\times RS=10500$ จงหาความยาวของ $PS$  ๑๕.เขียนจำนวนเต็มบวกที่เรียงต่อเนื่องกัน ๑๑ จำนวนบนกระดาน มาเรียลบตัวเลขหนึ่งออกไป ทำให้ผลรวมของจำนวนที่เหลือเท่ากับ $2012$ จงหาว่าตัวเลขใดที่มาเรียลบไป |
พิจารณาทีละตัว เลข 1 มีทั้งหมด 2012 ตัีว เลข 4 ลงท้ายด้วย 4 กับ 6 อย่างละ 1006 ตัว ผลรวมเท่ากับ $(4+6)\times 1006$ ลงท้ายด้วย 0 เลข 3 มีวนรอบคือ $3,9,7,1$ ทั้งหมดวนอยู่ $\frac{2012}{4}=503 $ รอบ แต่ละรอบรวมกันแล้วลงท้ายด้วย $0$ ดังนั้นลงท้ายด้วย 0 เลข 2 มีวนรอบคือ $2,4,8,6$ ทั้งหมดวนอยู่ $\frac{2012}{4}=503 $ รอบ แต่ละรอบรวมกันแล้วลงท้ายด้วย $0$ ดังนั้นลงท้ายด้วย 0 ดังนั้น $N$ ลงท้ายด้วยเลข $2$ |
ข้อ6. ลาก HF จบเลย:)
|
14. 10500=5x7x10x2x5x3
|
ให้จำนวนที่อยู่ตรงกลาง คือตำแหน่งที่ 6 เท่ากับ $x$ จะได้ว่า จำนวนทั้งหมดคือ $x-5,x-4,x-3,x-2,x-1,x,x+1,x+2,x+3,x+4,x+5$ ถ้าหยิบออกหนึ่งจำนวนจะเหลือ $x$ เท่ากับ $10x$ รวมกับผลบวกของ $-5,-4,...,4,5$ เราให้เท่ากับ $\triangle $ เป็นการเลือกหยิบมา10 จำนวนจาก 11 จำนวน หรือหยิบ 1 จำนวนออกจากทั้งหมด $10x+\triangle =2012$ พิจารณา $10x$ เราจะได้จำนวนที่ลงท้ายด้วย 0,00,000 ดังนั้น $\triangle=2,12$ แต่เราเลือก $\triangle=2$ เพราะเราไม่สามารถสร้างผลบวกที่เท่ากับ $12$ หรือ $-8$ จากการหยิบออกหนึ่งจำนวน ดังนั้นจำนวนที่หยิบออก ควรจะเป็น $x-2$ จะได้ว่า $x=201$ จำนวนที่หยิบออกคือ $201-2=199$ ตอบ $199$ จำนวนทั้ง11จำนวนคือ $196,197,198,199,200,201,202,203,204,205,206$ |
10 ไฟล์และเอกสาร
|
๘.มีเลขสองหลักที่เมื่อนำผลคูณของเลขโดดในแต่ละหลักมาหารตัวมันเองแล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ $3$ และเหลือเศษเ่ท่ากับ $9$ แต่เมื่อนำผลคูณของเลขโดดในแต่ละหลักมาบวกกับกำลังสองของเลขโดดแต่ละหลักแล้วได้เลขสองหลักพอดี จงหาเลขสองหลักนี้ ให้เลขสองหลักนี้คือ $\overline{mn} $ เท่ากับ $10m+n$ โดยที่ $m,n$ เป็น เลขโดด และ $1 \leqslant m \leqslant 9,1 \leqslant n \leqslant 9 $ $10m+n=3(mn)+9$ $10m+n=mn+m^2+n^2$ $3(mn)+9=mn+m^2+n^2$ $m^2+n^2-2mn-9=0$ $(m-n+3)(m-n-3)=0$ $m-n=-3$ หรือ $m-n=3$ พิจารณา กรณีแรก $m-n=-3$ แสดงว่า $m=n-3$ และ $n>3$ จะได้ว่า $n=4,m=1\rightarrow 14$ $n=5,m=2\rightarrow 25$ $n=6,m=3\rightarrow 36$ $n=7,m=4\rightarrow 47$ $n=8,m=5\rightarrow 58$ $n=9,m=6\rightarrow 69$ กรณีที่สอง $m-n=3$ แสดงว่า $m=n+3$ และ $n\geqslant 1$ จะได้ว่า $n=1,m=4\rightarrow 41$ $n=2,m=5\rightarrow 52$ $n=3,m=6\rightarrow 63$ $n=4,m=7\rightarrow 74$ $n=5,m=8\rightarrow 85$ $n=6,m=9\rightarrow 96$ เช็คทั้งสองกรณีแล้วเหลือคำตอบเดียวคือ $63$ |
สังเกตว่า $B=A-12^2$ $C=B+13^2$ $D=C-14^2$ $B+C+D=A+B+C-12^2+13^2-14^2$ $A+B+C+D=2A+B+C-12^2+13^2-14^2$ $=2A+(A-12^2)+(A-12^2+13^2)-12^2+13^2-14^2$ $=4A-3\times 12^2+2\times 13^2-14^2 $ $A=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+(5^2-6^2)+...+(9^2-10^2)+11^2$ $=-(1+2+3+...+10)+121$ $=11(11-5)=66$ $A+B+C+D=4(66)+2(13^2-12^2)-(12^2+14^2)$ $=264+50-(144+196)$ $=314-340$ $=-26$ |
1 ไฟล์และเอกสาร
โจทย์ข้อนี้คงไม่ต้องแปล น่าจะเข้าใจได้ Attachment 10692 ลากเส้นเชื่อมต่างๆดังรูป (BQ, BD, BP) กำหนดพื้นที่ตามอัตราส่วนดังรูป (m และ a, b) (ใช้ 4a, 4b เพื่อให้หารลงตัว) จากที่โจทย์กำหนด $ 4m+5m +3(a+b) +4a= \frac{3}{5} \square ABCD$ $ 3m +(a+b) +\frac{4}{3}a = \frac{1}{5} \square ABCD$ $ 6m +2(a+b) +\frac{8}{3}a= \frac{2}{5} \square ABCD$.........(1) จากรูป $ 6m +4b = \frac{2}{5} \square ABCD$.....(2) จาก (1) และ (2) $ \ \ 6m+2(a+b) +\frac{8}{3}a = 6m+4b$ $7a = 3b$ $ a:b = 3:7$ |
ให้ $4n+1=a^2 \rightarrow n=\frac{(a+1)(a-1)}{4} $ $6n+1=b^2\rightarrow n=\frac{(b-1)(b+1)}{6} $ จะได้ว่า $b> a$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $\frac{(a+1)(a-1)}{4}=\frac{(b-1)(b+1)}{6}$ $3(a+1)(a-1)=2(b-1)(b+1)$ $3a^2-3=2b^2-2$ $3a^2-2b^2=1$ $a^2=\frac{1+2b^2}{3} ,b^2=\frac{3a^2-1}{2} $ $a^2$ หารด้วย 3 ลงตัว และ $b^2$ หารด้วย 2ลงตัว $a$ หารด้วย 3 ลงตัว และ $b$ หารด้วย 2ลงตัว มึน หิวข้าว ทิ้งไว้ก่อนเดี๋ยวไปพักสมองกับเติมพลังแล้วมาลุยต่อ จาก $2n=(b-a)(b+a) $ เนื่องจาก $a\not= b \rightarrow n>0$ และ $b+a>b-a$ แยกได้เป็น 1.$b-a=2,b+a=n$ $n=2a+2$ แทนในสมการ $4n+1=a^2 $ $4(2a+2)+1=a^2$ $8a+9=a^2$ $a^2-8a-9=0\rightarrow (a-9)(a+1)=0 \rightarrow a=9$ $n=20$ 2.$b-a=n,b+a=2$ กรณีนี้ $n<2$ เหลือ $n=1$ ซึ่งค่าไม่สอดคล้องกับสมการ 3.$b-a=1,b+a=2n$ $2a=2n-1 \rightarrow n=\frac{2a+1}{2} $ แทนในสมการ $4n+1=a^2 $ $2(2a+1)+1=a^2 \rightarrow a^2-4a-2=0$ ได้คำตอบสมการที่ $a$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นเหลือแต่ $n=20$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:06 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha