ข้อสอบ สอวน.2547 ศูนย์สวนกุหลาบ
 

ของปีล่าสุดน่ะครับ

ไม่มีน้องผู้ใจดีที่ไปสอบมาส่งมาให้ หรือ นำมาโพสต์ที่นี่ พี่ก็หมดปัญญาเหมือนกันครับ. ไม่รู้จะไปเสกจากที่ไหน :eek:

ให้ a,b เป็นสัมประสิทธ์ของ xยกกำลัง17 และ xยกกำลัง18 ตามลำดับ ถ้าเรากระจาย (1+xกำลัง5+xกำลังเจ็ด)กำลังยี่สิบ ถามว่า a+b ได้เท่าไร

หาได้แล้วครับ

หน้า 1

หน้า 2

หน้า อื่นไว้ต่อวันหลังนะครับ ยังไม่ได้ สแกน จะสแกนให้ชัดกว่านี้ ด้วย
และ ยังไม่ได้ลบ ที่ทำเลอะนะครับ

ขอบคุณ คุณ sck มาก ๆ เลยครับ. :D ความชัดระดับนี้ก็โอเคแล้วครับ. มีถึงข้อ 30 ใช่เปล่าครับ.

มาร่วมกันเฉลยดีกว่าครับ. ผมขอประเดิม 3 ข้อแรกก่อนเลย

1) a, b, c ถูก (ข้อ c เช่น (x, y, z) = (1, 2, 2) ) , d ผิด เพราะ ทุก x ฮ R⁺ จะได้ว่า x + 1/x ณ 2

2) a ผิด เพราะ a = 0, b ถูก เช่น a = 1,000,001 b = 1 , c ผิด เช่น n = 3 ,
d ถูก เพราะ (n³ - 3)/(n - 3) = n² + 3n + 9 + 24/(n - 3) ดังนั้น n - 3 = -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 หรือ n = 1, 2, 5, ... , 27

3) ตอบ 4 : เพราะ (10x + 3)6528 = (30 + x)8256 จากนั้นใช้ Trick นิดหน่อย แก้สมการจะแก้ได้ง่าย ๆ คือ x = 4

ต่ออีก 3 ข้อ

4) 28
เลข 1 หลัก : 6 รวม 1 ตัว

เลข 2 หลัก : 6 = 6 + 0 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 ดังนั้นจึงได้ 60, 15, 51, 24, 42, 33 รวม 6 ตัว

เลข 3 หลัก : 6 = 6 + 0 + 0 = 1 + 5 + 0 = 2 + 4 + 0 = 3 + 3 + 0
= 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
จึงได้ 600, 150, 105, 510, 501, 240, 204, 420, 402, 330, 303,
ชุด 114 มี 3!/2! = 3
ชุด 123 มี 3! = 6
ชุด 222 มี 1

รวม 21

ทั้งหมดจึงมี 1 + 6 + 21 = 28

5) 334
n(x) + n(y) - 2n(x ว y) = 250 + 166 - 2(41) = 334

6) 8 เพราะ 1 + 6 + 5 + 6 = 18

ข้อ 8 คิดเลขเหนื่อยจัง...

7) 192 เพราะ 9 + 2(90) + 3 = 192

8) 1190.25
f'(x) = 2(x - 1) + 2(x - 3) - 4(x - 4)³ + 2(x - 8) = 6(x - 4) - 4(x - 4)³ = 2(x - 4)[ 3 - 2(x - 4)² ]
\ f'(x) = 0 ซ x = 4, ฑึ3/2 + 4

\ f(0) = 1 + 9 - 256 + 64 = -182
f(10) = 81 + 49 - 1296 + 4 = -1162
f(4) = 9 + 1 - 0 + 16 = 26
f(ฑึ3/2 + 4) = 113/4 = 28.25

\ [a, b ] = [-1162, 113/4] ฎ b - a = 28.25 + 1162 = 1190.25

9) 34
g(0) = 15, g(1) = 11, g(2) = 9, g(4) = 9, g(8) = 17 , g(10) = 25

\ [p, q] = [9, 25] ฎ p + q = 34

Note ถ้าต้องการหาเฉพาะ p อาจใช้ มัธยฐานของ 1, 2, 4, 8 คือ 3 ดังนั้น g(3) = 9 จะมีค่าต่ำสุด

ข้อ 10) ตอบ 6
ข้อนี้ผมใช้ความรู้เกินหลักสูตร ใครมีแนวคิดที่ง่ายกว่านี้ไหม ?

จะได้ว่า
P(1) = a₁ + a₂ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + 1 = 0
P'(1) = 6a₁ + 5a₂ + 3a₄ + 2a₅ + a₆ + 7 = 0
P"(1) = 30a₁ + 20a₂ + 6a₄ + 2a₅ + 42 = 0

จาก P"(1) = 0 แสดงว่า a₁ = -1 ดังนั้น 20a₂ + 6a₄ + 2a₅ + 12 = 0 ดังนั้น a₂ = -1 ดังนั้น 6a₄ + 2a₅ - 8 = 0 ดังนั้น a₄ = a₅ = 1

แทนค่าที่ทราบลงใน P'(1) = 0 และ P(1) = 0 จะได้ a₆ = -1 , a₇ = 0

\ P(x) = x⁷ - x⁶ - x⁵ + x³ + x² - x = (x - 1)³x(x + 1)(x² + x + 1)

นั่นคือ q(x) = x(x + 1)(x² + x + 1) ฎ q(1) = 6

11) ฑ 1/ึ2
จะได้ (x + 1)/(2x + 1) = x

ข้อ 12) นี่ ผมไม่อยากเริ่มต้นที่ Euler 's Theorem ที่ว่า a^ฦ(m) บ 1 mod m เมื่อ gcd(a, m) = 1 เลย ดู ๆ แล้วมันน่าจะมีแนวคิดที่สบาย ๆ กว่านี้ ใครมองออกบ้างครับ.

ข้อ 12. ภายใต้ modulo 7² เราจะได้ว่า 6²⁰⁰⁴ + 8²⁰⁰⁴
= (7 - 1)²⁰⁰⁴ + (7 + 1)²⁰⁰⁴
= (7²⁰⁰⁴ - ... - 2004*7 + 1) + (7²⁰⁰⁴ + ... + 2004*7 + 1)
= (-2004*7 + 1) + (2004*7 + 1) เพราะพจน์อื่นๆหารด้วย 7² ลงตัวหมด
= 2 :D

555 :p ข้อ 12. ที่จริงง่ายนิดเดียว อย่างที่คุณ warut เฉลยล่ะครับ. ผมคิดออกหลังจากเขียนโง่ ๆ ลงไปแล้ว ไม่รู้ทำไมทีแรกมองไม่เห็น งั้นต่อข้อ 13. นะครับ.

13) 3420

[1 + (x⁵ + x⁷)]²⁰ = SC(20,r)(x⁵ + x⁷)^r = SC(20,r)SC(r, k)(x⁵)^{r - k}x^7k

ดังนั้น ถ้า 5r + 2k = 17 แล้ว (r, k) = (3, 1)
แต่ ถ้า 5r + 2k = 18 แล้ว ไม่มี (r, k) ใดเลยที่เป็นคำตอบ
ดังนั้น ส.ป.สของ x¹⁷ คือ C(20, 3)C(3,1) = 3420 แล้ว ส.ป.ส.ของ x¹⁸ คือ 0

รอ....หน้าต่อไปครับ.